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Ablauf
Wir erklären das Ziel des Seminars: Eine Rekreation der AMS-Notices.
- Zöpfe und Bilder
- Klassifikation und Kreuzungszahl
Einfache Beispiele
Wir sehen und einfache Beispiele wie den Trivialer Knoten, Kleeblattschlinge oder die Borromäische Ringe an.
Zwei Knoten sind äquivalent, wenn sie durch eine Isotopie ineinander umgewandelt werden können.
Ein Knotendiagramm entsteht, indem ein Knoten auf die Ebene projiziert wird und die Kreuzungen korrekt eingezeichnet werden. Wir zeigen, wie die Reidemeister Bewegung ein Resultat dieser Projektion ist. Anhand dessen definieren wir die Kreuzungszahl als die minimale Zahl an notwendigen Kreuzungen.
Wir definieren Primknoten und Zusammengesetzter Knoten. Der Satz von Schubert 1949 besagt, dass sich Knoten eindeutig in Primknoten zerlegen lassen.
Wir beschreiben die Anzahl der Knoten, klassifiziert nach der Kreuzungszahl. Wir nennen das Perko-Paar als zwei Knoten, die Jahrzehnte als verschiedene Knoten wahrgenommen wurden.
Wir definieren alternierende Knoten. Wir vermuten, ob die Summe zweier Knoten die Summe der Kreuzungszahl hat.
2 Dimensionale Knoten
2-Dimensionale Kugeln in 4 Dimensionen. Aufgrund der höheren Dimensionen gibt es mehr verschiedene Möglichkeiten für (mehrdimensionale) Kreuzungen. (Beispielsweise eine Kreuzung die wie ein Schwalbenschwanz aussieht). Entsprechend haben wir auch neue Reidemeister Bewegungen.
Die verschiedenen Arten von Kreuzungen machen es schwer eine Kreuzungszahl zu definieren. Wir zählen daher die Kreuzungen einfach separat.
Hier gibt es einige Fragen. Zum Beispiel sind Knoten mit einer bestimmten Zahl ein Kreuzungen nicht bekannt.