Cauchy-Integralformel

Beschreibung

Die Cauchy-Integralformel beschreibt fundamentale Zusammenhänge zwischen der Umlaufzahl einer nullhomotopen [Komplexe Stückweise Differenzierbare Schleife]] und einem Wegintegral über dieser Schleife.

Definitition

Sei

• $U\subseteq \mathbb{C}$ der Definitionsbereich von $f$ und Wertebereich von $\gamma$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion
• $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to U$ eine Komplexe Stückweise Differenzierbare Schleife, die in $U$ nullhomotop ist.

Dann gilt für jedes $z\in U\backslash Spur(\gamma )$:

$n(\gamma ,z)f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$

Integralformel für Ableitungen

Für jedes $z\in U\backslash Spur(\gamma )$:

$n(\gamma ,z)f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^{(k+1)}}d\xi$

Eine Nullhomologe Schleife ist nullhomotop, daher kann $\gamma$ auch nullhomolog sein.