Maximal ideal

Description

The maximales Ideal is similar to the Prime ideal. It seems to be something that is even stronger than a prime ideal, giving us the chain (with abuse of notation): $\text{Maximal}\subseteq \text{Prime}\subseteq \text{Irreducible}$ Therefore it probably doesn’t correspond to an Irreduzibles Element.

Definition

Ein Two-sided Ideal $\mathfrak{p}$ in einem Commutative Ring $R$ wird maximales Ideal genannt, wenn $\mathfrak{p}\ne (1)$ ist und kein Ideal $I$ mit der Eigenschaft $\mathfrak{p}\subset I\subset (1)$ existiert, das Ideal also abgesehen vom Einheitsideal bezüglich Inklusion maximal ist.

Characterisation by quotient

Sei $R$ ein Commutative Ring. $\mathfrak{p}$ ist genau dann ein Maximales Ideal, wenn $R/\mathfrak{p}$ ein Körper ist.[^1]

Note that the Prime ideal has a very similar characterisation, immediately showing that maximal ideals are more special.

Properties

Prime ideal

Jedes Maximale Ideal ist ein Prime ideal.