Gutkonditioniertes Problem

Beschreibung

Ein gutkonditioniertes Problem ist ein Problem, dass sich in einer kleinen Umgebung bei einer relativen Veränderung linear approximieren lässt.

Definition

Sei $U\subseteq X$ Offene Menge (Metrik), $f:U\to Y$ eine Funktion zwischen Vektorräumen. Sei $x\in U\backslash \{0\}$ so, dass $f(x)\ne 0$.

$f$ heißt gutkonditioniert, in $B(x,\delta )\subseteq U$ genau dann wenn $\exists K\ge 0:\forall \tilde{x}\in B(x,\delta ):\frac{\Vert f(\tilde{x})-f(x)\Vert }{\Vert f(x)\Vert }\le K\frac{\Vert \tilde{x}-x\Vert }{\Vert x\Vert }$

Hierbei ist $\frac{\Vert f(\tilde{x})-f(x)\Vert }{\Vert f(x)\Vert }$ die relative Änderung der Funktionswerte und $\frac{\Vert \tilde{x}-x\Vert }{\Vert x\Vert }$ die relative Änderung der Eingabedaten. Da $\Vert f(x)\Vert$ und $\Vert x\Vert$ im oberen Beispiel effektiv als Konstanten behandelt werden können, kann man $f$ als gutkonditioniert betrachten, wenn: $\exists K^{\prime }\ge 0:\forall \tilde{x}\in B(x,\delta ):\Vert f(\tilde{x})-f(x)\Vert \le K^{\prime }\Vert \tilde{x}-x\Vert$ Das gitl, wenn man einen Kegel um $x$ zeichnen kann, in dem sich $\Vert f(x)\Vert$ befindet.

Q: In (B(x, \delta)) gutkonditioniertes Problem (f) A: (\exists{K \geq 0}: \forall \tilde x \in B(x, \delta): \frac{|f(\tilde x)-f(x)|}{|f(x)|} \leq K \frac{|\tilde x -x|}{|x|})

Abschätzungsfaktor

Ist $f$ gutkonditioniert in $B(x,\delta )$ so definiere $K(\delta ):=K(f,x,\delta )$ als das kleinste $K$, das obere Abschätzung erfüllt.

Gutkonditioniert in einem Punkt

$f$ ist gutkonditioniert in $x$, wenn es einen Ball um $x$ gibt, in dem $f$ gutkonditioniert ist.

Eigenschaften

Stetigkeit

Eine gutkondiotionierte Funktion ist stetig.

Beispiele

Lipschitzstetige Funktion

Ist eine Funktion in $x$ lokal Lokale Lipschitzstetigkeit, so ist sie in $x$ gutkonditioniert.

Lineare Funktion

Sei $A$ eine Lineare Funktion zwischen ${\text{K}}^n$-Vektorräumen. Dann ist $A$ gutkonditioniert in $x\ne 0$ mit $k_{rel}(A,x)=\Vert A\Vert \frac{\Vert x\Vert }{\Vert Ax\Vert }$

Ist $A$ eine invertierbare Lineare Abbildung mit quadratischer Matrix. Dann gilt $k_{rel}(A,x)\le \Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$. $\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ wird auch die Konditionszahl genannt.

Negativbeispiel Nicht in $x$ stetige Funktionen

Ist eine Funktion nicht in $x$ stetig, kann sie nicht in $B(x,\delta )$ oder in $x$ gutkonditioniert sein.

Negativbeispiel Asymptote

Hat eine Funktion $f$ eine Asymptote am Rand von $B(x,\delta )$, so ist sie auf dem Ball nicht gutkonditioniert

Negativbeispiel Wurzelfunktion

Die Funktion $\sqrt{x}$ stetig erweitert für negative Werte ist in $x=0$ nicht gutkonditioniert.