Beschreibung
Kontraktionen sind Verallgemeinerungen der Spur (Lineare Algebra). Sie sind wohl so etwas wie eine Verringerung der Stufe von Tensoren, die Informationen vom vorherigen Objekt mit sich zieht.
Definition
Kontraktion von -Tensoren
Auf Tensoren des Typs erhält man eine einfache Kontraktion durch: \begin{align} T_1^1U = U \otimes U^* &\to K \\ u \otimes u^* &\mapsto u^*(u) \end{align}
Dadurch erhält man einfach die Spur (Lineare Algebra).
Allgemein Kontraktion
Allgemeiner kann man in einem homogenen Tensorraum einen -ten Vektorfaktor mit einem -ten Kovektorfaktor paaren und erhält dadurch die Kontraktion:
&u_1 \otimes ... \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes ... \otimes u_s^* &\mapsto& u_j^*(u_i) \cdot u_1 \otimes ... \otimes \hat u_i\otimes ... \otimes u_r \otimes u_1^* \otimes ... \otimes \hat u_j^* \otimes ... \otimes u_s^*\end{align}$$ ## Totale Kontraktion Durch Verketten von mehreren Kontraktionen erhält man totale kontraktionen: $$T_r^r \to K$$ # Eigenschaften ## Basisunabhängig Wie die Spur sind auch totale Kontraktionen [[Basis (Lineare Algebra)|Basisunabhängig]]. # Beispiele