Produkttopologie

Beschreibung

Die Produkttopologie (auch Topologie punktweiser Konvergenz) erhält man als Produkt zweier Topologien. Es ist ein Startpunkt für viele Produkte auf Mengen mit mehr Struktur. Den Namen Topologie punktweiser Konvergenz erhält die Produkttopologie daher, das Funktionen dann nah zueinander sind, wenn sie sich punkteweise ähneln.

Definition Produkt zweier Räume

Seien $(X,T_X),(Y,T_Y)$ topologische Räume. Die Menge des Produktraumes erhalten wir durch das kartesische Produkt von $X,Y$. Die Produkttopologie isn, wenn es eine Vereinigung vX, V \subseteq Y$ offen ist.

Produkt unendlich vieler Räume (Universelle Eigenschaft)

Seien $(X_i{)}_{i\in I}$ (möglicherweise unendlich viele) Topologische Räume. Auf dem kartesischen Produkt $X={\prod }_{i\in I}{X}_i$ existieren natürliche Projektionen $p_i:X\to X_i$. Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie (d.h. mit den wenigsten offenen Mengen) bezüglich der alle Projektionen stetig sind.

Die obere Definition hilf nicht wirklich um eine Intuition aufzubauen. Wir wissen aber schon eine Menge. Da die $p_i$ stetig sind, wissen wir, dass für $U_i$ offen auch $p_i^{-1}(U_i)$ offen ist. Da die Produkttopologie die gröbste ist, unter der die $p_i$ stetig sind, bilden die $p_i^{-1}(U_i)$ eine Basis (Topologie). Alle offenen Mengen sind also durch endliche Schnitte und überabzählbare Vereinigung erhältlich. Die Mengen die wir aus endlichen Schnitten bekommen, bezeichnet man übrigens als Zylindermenge. Somit ist jede Menge eine Vereinigung von Zylindermengen.

Eigenschaften

Bedingung für Stetige Abbildungen

Sei $f:Z\to X\times Y$ eine Abbildung zwischen Topologischer Raum. Sie ist stetig genau dam.md)m.md)en ${\pi }_X\circ f$ und ${\pi }_Y\circ f$ stetig sind.

Satz von Tychonoff

Das Produkt von kompakten Räumen ist wieder kompakt. Siehe Satz von Tychonoff.