Beschreibung

Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal wie aussieht

Definition (schlecht)

Eine glatte Mannigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der hausdorff ist, zweitabzÀhlbar ist und einen Glatter Atlas besitzt.

Die Dimension von allen Punkten muss nicht gleich sein. Sie kann in unzusammenhÀngenden Regionen verschiedene sein.

Q: Glatte Mannigfaltigkeit A: Ein Topologischer Raum , der hausdorff und zweitabzÀhlbar ist

Q: Dimension einer glatten, zusammenhÀngenden Mannigfaltigkeit A: von Karten

Sinn

Wir nehmen Funktion . definieren, die jedem Punkte der Mannigfaltigkeit einen Wert zuordnet (z.B. Temperatur). Das können wir machen, indem wir die Funktionen fĂŒr jede Karte mit .

Ähhh
 Ich muss da noch ein bisschen darĂŒber nachdenken.

Eigenschaften

Untermenge ist eine Mannigfaltigkeit

sei eine glatte Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge. Dann ist eine glatte Manigfaltigkeit mit

Beispiel

SphÀre

Wir betrachten die SphĂ€re mit der Relativtopologie aus . Der Atlas besteht aus zwei Karten, die einmal die Kugel ohne den SĂŒdpol und einmal die Kugel ohne den Nordpol durch die Stereographische Projektion auf abbildet. Wir erhalten dadurch eine Glatte Mannigfaltigkeit.

Raum der Geraden durch 0

Dieser Raum kann auch durch eine Quotiententopologie beschrieben werden.

lit_gallotRiemannianGeometry2004

\newcommand{\R}{\mathbb R}