Beschreibung
Definition
Eine Abbildung auf einem -Vektorraum wir Halbnorm auf genannt, wenn die Bedingungen und für alle erfüllt sind.
Das sieht ganz verwandt zur Nicht-metrischer Abstand aus.
Eigenschaften
Induzierte Topologie
Jede Halbnorm definiert eine Topologie auf .
Keine Induzierte Metrik
Sie muss aber nicht notwendigerweise eine Metrik induzieren
Keine eindeutige Konvergenz
Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist nicht mehr eindeutig bestimmt
Sätze
Fortsetzungssatz
Sei ein -Vektorraum mit einer Halbnorm, ein Banachraum, ein Untervektorraum und eine stetige lineare Abbildung. Dann existiert genau eine stetige Fortsetzung vn zu einer Abbildung und diese Abbildung ist wiederum linear.
Dieser Satz soll später angewender werden, indem für das Integral gewählt wird.
\newcommand{\R}{\mathbb R}