Dividierte Differenz

Beschreibung

Die Dividierte Differenz gibt ein nützliches Hilfsmittel, um Polynome einfacher als mit dem Neville-Schema zu berechnen.

Definition

Für eine Hermite Interpolation $f={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i:=P[x_0,...,x_n]\in K$ bezeichnen wir $[x_0,...,x_n]:=a_n$ als die dividierte Differenz $n$-ter Ordnung.

Interpolation einer Funktion

Interpolieren wir eine Funktion $g:K\to K$ an mehreren Punkten so schreiben wir die dividierte Differenz auch als $[g\mid x_0,...,x_n]:=[x_0,...,x_n]$

Eigenschaft

Berechnung an einem Punkt

Benötigt man eine Hermite Interpolation an einem Punkt, d.h. $[x_0,...,x_n]=[{\tilde{x}}_0,...,{\tilde{x}}_n]=\frac{y_0^{(n)}}{n!}$

Berechnung durch Rekursion

Führ mehrere Punkte $x_k\ne x_l$ gilt: $[x_0,...,x_n]=\frac{[x_0,...{\hat{x}}_l,...,x_n]-[x_0,...,{\hat{x}}_k,...,x_n]}{x_k-x_l}$

Q: Rekursionsformel für dividierte Differenz: A: ([x_0, …, x_n] = \frac{[x_0, … \hat x_{l}, …, x_n]-[x_0, …,\hat x_{k}, …, x_n]}{x_k-x_l})

Mittelwertsatz für dividierte Differenze

Zu $x\in [a,b]$ setze $m:=\min \text{ges}x,x_0,...,x_n,M:=\max \text{ges}x,x_0,...,x_n$ Dann gilt für ein $n+1$-fach differenzierbares $g\in C^{n+1}[a,b]$: Es gibt ein $\xi =\xi (x,x_0,...,x_n)\in [m,M]$ sodass $[g|x,x_0,...,x_n]=\frac{g^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$

Stetigkeit

Die dividierte Differenz $[x_0,...,x_n]$ ist steig in allen $x_i$