Repräsentantensystem der Primelemente

Beschreibung

Definition

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $P\subseteq R$ eine Teilmenge bestehend aus Primelementen. Wir nennen $P$ ein Repräsentantensystem der Primelemente in $R$, wenn jedes Primelement $q\in R$ zu genau einem $p\in P$ assoziiert ist.

Hinreichende Bedingungen

Haupidealringe

Jeder Hauptidealring $R$ ist faktoriell[^1]

Analog zum ggt und kgV

Sei $R$ ein faktorieller Ring, und sei $P\subseteq R$ ein Repräsentantensystem der Primelemente in $R$. Seien $f_1,...,f_n\in R$ beliebige Elemente ungleich Null. Für jedes $p\in P$ definieren wir $u_p=min\{{\nu }_p(f_i):1\le i\le m\}\text{ und }{w}_p=\max \{{\nu }_p(f_i):1\le i\le m\}$ Dann ist $f={\prod }_{p\in P}{p}^{u^{u_p}}$ ein ggT und $g={\prod }_{p\in P}{p}^{w_p}$ ein kgV der Elemente $f_1,f_2,...,f_m$. Dies zeigt also insbesondere, dass in einem faktoriellem Ring für beliebige Mengen von Elementen jeweils ein kgV und ein ggT existiert.¹

6]: Gerkmann - Satz 11.10

Footnotes

1. Gerkmann -Satz 11.9 ↩