Updateregel

Beschreibung

Die Dynnikov Koordinaten einer Kurve auf $D_n$ ergeben sich aus den Schnitten mit senkrechten Geraden und Halbgeraden.

Wir stellen uns die Zopfwirkung vor, die zwei Bohrungen gegen den Uhrzeigersinn vertauscht. Verlief die Kurve eben unter der zweiten Bohrung hindurch so verläuft sie nun obendrüber. Auf gleiche Weise verändern sich auch die Dynnikov-Koordinaten. Wir nennen eine derartige Transformation der Dynnikov-Koordinaten eine Update-Regel.

Definition

Updateregeln der Zopferzeuger ${\sigma }_i$

Wie wirken die Erzeuger der Zopfgruppe auf Dynnikovregeln? Wir definieren erst

• $f^{+}:=\max (f,0),f^{-}:=\min (f,0)$
• $c_{i-1}=a_{i-1}-a_i-b_i^{+}-b_{i-1}^{-}$

Wir können die Updateregel der ${\sigma }_i$ auf den Koordinaten beschreiben als:

• ${\bar{a}}_{i-1}=a_{i-1}-b_{i-1}^{+}(b_i^{+}+c_{i-1}{)}^{+}$
• ${\bar{b}}_{i-1}=b_i+c_{i-1}^{-}$
• ${\bar{a}}_i=a_i-b_i^{-}-(b_{i-1}^{-}-c_{i-1}{)}^{-}$
• ${\bar{b}}_i=b_{i-1}-c_{i-1}^{-}$

wenn ${\sigma }_i$ mit $i=2,3,...,n-2$. Alle anderen ${\bar{a}}_i,{\bar{b}}_i$ bleiben gleich.

Setzen wir $a_0=a_{n-1}=0$ und $b_0=-\frac{1}{2}{\nu }_1$, $b_{n-1}=\frac{1}{2}{\nu }_{n-1}$, so gelten die oberen Formeln auch für die Randwerte.

Updateregeln der Zopferzeuger in Max-Plus-Algebra

Wir können die oberen Updateregeln in Max-Plus-Algebra schreiben. Das reduziert den Schreibaufwand.

• ${\bar{a}}_{i-1}=\text{dklam}\frac{1+a_1(1+b_1)}{b_1}$
• ${\bar{b}}_1=\text{dklam}{a}_1(1+b_1)$

und so weiter.

Eigenschaften

$

[1]{#1 ^{-1}} r-Thiffeault-Braids-Dynamics