Tensor

Beschreibung

Ein Tensor ist eine Multilineare Abbildung, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Vektor abbildet und eine universelle Eigenschaft erfüllt.

Ein Beispiel sind Matrizen, Vektoren oder Skalare, die einen Vektor auf einen anderen Vektor abbilden. Tensoren werden häufig genutzt, um Tensorfelder zu definieren

Homogene Tensoren

Für einen Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ mit Dualraum $V^{\ast }$ sei $T_s^r(V,K)$ definiert durch $T_s^r(V,K):=L^{r+s}(E^{\ast },..,E^{\ast },E,...,E;K)$ (Die Parameter enthalten $r$ mal $E^{\ast }$ und $s$ mal $E$)

Elemente dieser Menge heißen Homogene Tensoren, des Typs $(r,s)$, d.h. kontraviariant der Stufe $r$ und kovariant der Stufe $s$. $r+s$ nennt man die Rang des Tensors.

Gemischter Tensor

Elemente der Tensoralgebra nennt man Tensoren. Diese Elemente können Direkte Summen aus Tensoren verschiedener Typen sein, müssen also nicht homogen sein.

Simple Tensoren

Können Tensoren als Tensorprodukt von (dualen) Elementen aus $U$ geschrieben werden, nennt man sie simpel. Das ist wegen Unendlichkeitsgründen nicht automatisch gegeben.

Eigenschaften

Tensoren als Multilineare Abbildungen

Unter $L_s^r(E^{\ast },...,E^{\ast },E,...,E;K)$ verstehen wir den Raum aller multilinearer Abbildungen in den Grundkörper $(E^{\ast }{)}^r\times (E^{\ast }{)}^s\to K$.

Dualräume von Homogenen Tensorräumen

Ist $U$ endlichdimensional, so gilt $(T_r^{s}U{)}^{\ast }\cong T_s^r\cong T_r^s(U^{\ast })$

Beispiele

$(1,0)$-Tensor

Das sind einfach Vektoren.

$(0,1)$-Tensor

Das sind einfach die Kovektoren

$(0,2)$-Tensor

Das sind einfach bilineare Form

$(0,n)$-Tensor

Das sind einfach Multilineare Form.

$(1,1)$-Tensor

Das sind einfach die Endomorphismen eines Vektorraums.

$(n,0)$-Tensor

Das sind die kovariante Form von Multilineare Form.