Beschreibung
Die Homotopieklasse ist die Menge aller Räume oder Funktionen, die durch Homotopien ineinander überführt werden können.
Äquivalenzklasse
Homotopie ist eine Äquivalenzrelation. Homotopieklassen entstehen durch Bildung der Äquivalenzklasse.
Eigenschaften
Homöomorphismen bilden eine Gruppe
Ist die betrachtete Klasse von Funktionen auf mindestens eine Menge von Homöomorphismen (z.B. Diffeomorphismen, Isometrie), so bildet die Menge aller Funktionen, die homotop zur Identität sind eine Gruppe. Die Gruppe wird durch eine Null im Index gekennzeichnet, z.B.:
Beispiele
Kurvenhomotopieklasse
Sei ein topologischer Raum. Die Menge aller geschlossenen Kurven zerfällt in disjunkte Homotopieklassen. Betrachtet man die Konkatenation von Kurven als Halbgruppe, so verbessert sich diese im Kontext der Homotopieklassen zu einer Gruppe, der sogenannten Fundamentalgruppe