Zopfquotient

Beschreibung

Wirkt ein Zopf symmetrisch auf einem Raum, so ist es möglich, einen Quotienten des Raumes zu bilden. Dies induziert dann einen Quotienten auf dem Zopf.

Definition

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Beispiel: Quotient von ${\sigma }_2^3{\sigma }_1^{-2}{\sigma }_3^{-2}$ (Torusmethode)

Betrachte $\beta ={\sigma }_2^n{\sigma }_1^{-m}{\sigma }_3^{-m}\in B_4$. Dieser Zopf wirkt auf $D_4\subseteq R^2$. Wir wissen, dass die Zugstrecke von $\beta$ das Einfügen eines $2$-zackigen Sattels zwischen Bohrung $2$ und $3$ erlaubt. Ferner wissen wir, dass der Rand $\infty$ zwei-zackig ist und alle anderen Bohrungen $1$-zackig sind. Wir verformen nun die Kreisscheibe in eine Bratwurst, bei der die $4$ Bohrungen auf einer Gerade liegen. Die zwei $2$-Zackigen Bohrungen lassen sich heben. Wir wissen, dass die $4$-durchbohrte Kugel durch eine Hyperelliptische Involution des Torus mit $4$ markierten Punkten zustande kommt. Wir können umgekehrt die vorherige Abbildung auf den Torus heben. (man stelle sich die Zopfgeneratoren als Homotopievor) Der Vertauschen der Punktierungen $1,2$ bzw. $3,4$ fügt nun einen Twist in eine Seite des Torus ein, der durch einen umgekehrten Twist in der Gegenseite rückgängig gemacht wird.

Eikos Folklore