Quotientenkriterium

Beschreibung

Das Quotientenkriterium ist ein Kriterium, mit dem man den Convergence radius einer Reihe berechnen kann.

Allgemeine Definition

Sei eine Reihe $S={\sum }_{n\in \mathbb{N}}{a}_n$. Gilt $\lim \underset{k\to \infty }{\sup }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1$ dann konvergiert die Reihe. Gilt $\lim \underset{k\to \infty }{\inf }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1$ dann divergiert die Reihe. Gilt keine der oberen Bedingungen, lässt sich keine Aussage treffen.

Definition Potenzreihen

Potenzreihen haben die Form $S={\sum }_{n\in \mathbb{N}}{a}_n{z}^n$. Anwenden der obere Formel für zu: Gilt $\lim \underset{k\to \infty }{\sup }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right||z|<1$ dann konvergiert die Reihe. Daraus ergibt sich ein Convergence radius: $r=\frac{1}{\lim \underset{k\to \infty }{\sup }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}$