Euler characteristic

Beschreibung

Die Euler-Charakteristik einer Topologische Mannigfaltigkeit ist eine Topologische Invariante, die jeder Mannigfaltigkeit zugeordnet werden kann.

Definition

Angenommen $M$ ist eine $2$-dimensionale orientierte, zusammenhängende kompakt Glatte Mannigfaltigkeit und $\tau$ eine glatte Glatte Triangulation von $M$.

Dann ist die Euler-Charakteristik definon }\tau) - #(\text{Kanten von }\tau) + #(\text{Seiten von }\tau)$$

** dass die Euler-Charakteangulation abhängig ist. Seien $T_1,T_2$ zwei Triangulationen. Wir können $T_2$ über $T_1$ legen und dadurch eine neue Triangulation generieren. Es lässt sich zeigen, dass das die Euler-Charakteristik von $T_1$ dadurch nicht verändert wird. Da man auch $T_1$ über $T_2$ legen kann, ist die Euler-Charakteristik von $T_1$ und $T_2$ gleich.

Eigenschaften

Vektorfeld mit Singularitäten aus Triangulation

Für eine beliebige Triangulation ist es möglich, ein Vektorfeld zu definieren, das die $+,-$-Zuordnung durch den Index (Vektorfeld) wiederspiegelt.

Poincaré Index Satz

In Folge oberer Eigenschaft kann die Euler characteristic durch die Indizes eines beliebigen Vektorfeldes errechnet werden: $\chi (S)={\sum }_{z\in zeros}i(X,z)$

Das bedeutet, dass die Euler Zahl einer Fläche nicht von der Triangulation abhängt und damit wohldefiniert ist.

Beispiele

Geschlossene Flächen

Sei $S_{g,n}^b$ eine geschlossene Fläche. Dann ist die Eulersche Charakteristik: $\chi (S_{g,b}^b)=2-2g-(b+n)$

lit_thurstonThreeDimensionalGeometryTopology2014 lit_adamsKnotBook1994