Explicit differential equation

Description

Eine Ordinary differential equation heißt n-dimensionale explizite Differentialgleichung k-ter Ordnung, wenn auf der linken Seite die $k$-te Ableitung von $x$ steht Gleichung null sind.

Definition

Seien $k,n\in N$, $k$ ist die höchste Ableitung der Gleichung, $n$ ist die Dimension von der Lösung, $U\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{K}}^{kn}$ ein Gebiet und $U$ ist der Defintionsbereich der Gleichung $f$, $f:U\to {\mathbb{K}}^n$ Eine Gleichung x^k = f(t, x, x', ..., x^{(k-1)})\tag{1} bzw. $\begin{array}{cc}& x_1^{(k)}=f_1(t,x,x^{\prime },...,x^{(k-1)})=0\\ & x_2^{(k)}=f_2(t,x,x^{\prime },...,x^{(k-1)})=0\\ & ⋮\\ & x_n^{(k)}=f_n(t,x,x^{\prime },...,x^{(k-1)})=0\end{array}$ heißt $n$-dimensionale explizite Differentialgleichung $k$-ter Ordnung.

Definition Lösung

Siehe Solution (ODE)

Equivalence of order and dimensionality

ODEs of higher order can be transformed into ODEs of higher dimensionality. The following illustrates the process for a Linear ODE: Seien $k,n\in N$ die höchste Ableitung der Gleichung und die Dimension von der Lösung, $U\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{K}}^{kn}$ ein Gebiet, $U$ ist der Definitionsbereich der Gleichung $f:U\to {\mathbb{K}}^n$ Eine n-Dimensionales Lineares Homogenes Differentialgleichungssystem k-ter Ordnung x^{(k)} = f(t, x, x', ..., x^{(k-1)}) \tag{1} kann in eine $nk$-dimensionales Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung umgewandelt werden: Betrachte jede Ableitung von $x$ als eine eigene Variable: $\begin{array}{c}{y}_1=x\\ y_2=x^{\prime }\\ ⋮\\ y_k=x^{(k-1)}\end{array}$ Dann gilt\begin{array}{c} y_1' = x' = y_2\\ y_2' = y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1}' = y_{k} \\ y_k' = f(t, y_1, ..., y_k) \end{array}\tag{2} Ist $\mu =\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ ⋮\\ {\mu }_k\end{array}\right)$ eine Lösung von $(2)$, dann ist ${\mu }_1=x$ eine Lösung von $(1)$¹

Existenzintervall

Das $I$ oben nennt man das Lösungs- oder Existenzintervall von $\lambda$ und $(2)$ die Lösungsidentität

Footnotes

1. Satz 18.1.1 ↩