Irreducible polynomial

Beschreibung

Ein irreduzibles Polynom ist ein Polynom (Algebra), welches sich nicht als Produkt von zwei (nicht-trivialen) Polynomen schreiben lässt.

Irreduzible Polynome sind das Analog von Primzahlen und teilen viele Gemeinsamkeiten. Irreduzible Polynome sind des Weiteren ein Spezialfall des Irreduzibles Element.

Properties

Preserved under taking Quotient field

Let $R$ be a field and $K$ its Quotient field. If $f$ with degree $\ge 1$ is irreducible in $R[x]$, then $f$ is irreducible in $K[x]$ too.

Is minimal polynomial

Jedes Irreduzible Polynom ist ein Minimal polynomial of some number $\alpha$ in the algebraic closure.

Eisenstein criterion

Sei $R$ ein faktorieller RIng, $p\in R$ ein Primelement und $f\in R[x]$ ein primitives Polynom vom Grad $n>0$. Es sei $f=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$ mit $a_0,...,a_n\in R$, und wir setzen voraus, dass die Koeffizienten von $f$ folgende Bedingungen erfüllen.

1. $p\mid a_i$ für $0\le i<n$
2. $p\nmid a_n$
3. $p^2\nmid a_0$

Reduction criterion

Let $R$ be a Unique factorization domain, $p\in R$ a Prime element and $\bar{R}=R/(p)$. Let $f=\sum a_i{x}^i\in R[x]$ be a primitive Polynomial with $a_n\notin (p)$ and $\bar{f}$ the image in $\tilde{R}[x]$. If $\bar{f}$ is reducible in $\bar{R}[x]$, then $f$ is reducible in $R[x]$ as well.