Summierte Newton-Cotes-Formeln

Beschreibung

Wendet man das Werkzeug der Summierte Quadraturformel auf Newton-Cotes-Formeln an, so erhält man summierte Newton-Cotes-Formeln

Definition

Summierte Rechteckregeln

Mit $I_0(f)$ folgt die summierte Rechteckregel: $I_{0,N}(f)=h{\sum }_{k=1}^{N}f(x_{k,0})=h(f(x_0)+f(x_1)+...+f(x_{N-1}))$

Das ist einfach die Rechteckregel auf jedem Intervall. Das Vorgehen hier ist absolut das gleiche wie bei der Riemannsumme.

Summierte Trapezregel

Trapezregel $I_1$ auf $[a,b]$ liefert die summierte Trapezregel für $f$: $I_{1,N}(f)=h{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2}\text{klam}f(x_{k,0})+f(x_{k,1})=\frac{h}{2}\text{klam}f(a)+2(f(x_1)+...+f(x_{N-1})+f(b))$

Summierte Simpsonregel

Simpsonregel $I_2$ auf $[a,b]$ liefert die summierte Simpsonregel für $f:[a,b]\to \mathbb{R}$: $I_{2,N}(f)=\frac{h}{6}\text{klam}f(a)+4{\sum }_{k=1}^{N}f(x_{k-\frac{1}{2}})+2{\sum }_{k=1}^{N-1}f(x_k)+f(b)$ mit $x_{k-\frac{1}{2}}=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}$ für $k=1,..,N$.

Eigenschaften

Fehlerabschätzung Rechtecksumme

Für differenzierbares $f\in C^1[a,b]$ gilt ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_{0,N}(f)=\frac{(b-a{)}^2}{2N}{f}^{\prime }(\tau )=\frac{b-a}{2}h{f}^{\prime }(\tau )$ Für ein $\tau \in [a,b]$

Fehlerabschätzung Trapezregel

Für $f\in C^2[a,b]$ gilt ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_{2,N}(f)=-\frac{(b-a{)}^5}{2880N^4}{f}^{(4)}(\tau )=-\frac{b-a}{2880}{h}^4{f}^{(4)}(\tau )$