Deckert - Stochastik

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Questions

TASK 
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Content

Subject	Detailed Content
Abzählbar Unendliche Experimente	Ein Ereignis vor einem Anderen, Erstes Auftreten, Kartensammeln, Sankt-Petersburg-Paradoxon, Urnenparadox
Abzählbare Verteilungen	Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung, Bose-Einstein-Verteilung, Fermi-Dirac-Verteilung, Geometrische Verteilung
Allgemeine Verteilungen	Uniforme Verteilung
Beispiele	Bernoulli Abbildung
Beispielmaße	Borel-Lebesgue-Maß, Dirac-Verteilung
Differenzengleichungen	Differenzengleichung, Lineare homogene Differenzengleichung
Empirie	Borel-Cantelli-Lemma, Konvergenzfehler, Konvergenzmodus, Markow Ungleichung, Starkes Gesetz der großen Zahlen
Endliche Experimente	Urnenmodelle
Entropie	Entropie (Informationstheorie), Gibbs Ungleichung, Information, Prinzip der Maximalen Entropie
Erwartungswert & Varianz	Allgemeine Tschebyscheff-Ungleichung, Bernoulli-Gewinn, Erwartungswert, Korrelation, Kovarianz (Stochastik), Lebesgue-Raum, Moment, Momenterzeugende Funktion, Varianz, p-fach Integrierbare Funktion
Erzeugende Funktion	Erzeugende Funktion (Stochastik), Exponentielle Erzeugende Funktion
Fast-Begriff	Fast-sichere Aussage, Nullmenge
Fouriertransformation	Fouriertransformation (Analysis), Fouriertransformation (Stochastik)
Grundbegriffe der Stochastik	Problemlösestrategien (Stochastik), Quasi-Inverse (Stochastik), Robustheit, Verteilungsfunktion, y-Quantil
Grundlegendes	Elementarereignis, Ereignis, Ergebnisraum, Wahrscheinlichkeitsmodell
Konvergenz von Vergröberungen	Fast-sichere Konvergenz, Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, Konvergenz von Zufallsvariablen
Lebesgue Integration	Dominierte Konvergenz, Lemma von Fatou, Monotone Konvergenz, Mu-Integral, Mu-integrierbarkeit, Satz von Tonelli
Markow-Ketten	Markow-Kette
Maße	Dynkin System, Maß, Maßraum, Produktmaß, Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsraum
Mengenfolgen	Mengenfolge
Messbarkeit	Messbare Funktion, R-Messbare Funktion
Operationen	Faltung
Rademacher Funktionen	Kronecker Delta, Rademacher Funktionen
Schwaches Gesetz der Großen Zahlen	Schwaches Gesetz der Großen Zahlen
Sigma-Algebra	Borel Sigma-Algebra, Indikatorfunktion, Produkt (Sigma-Algebra), Sigma-Algebra, Sigma-Endlichkeit, Sigma-Operator
Überabzählbare Experimente	Betrands Paradox, Spitzes Dreieck Paradox, Wahrscheinlichkeitsdichte
Vergröberung	Bedingtes Wahrscheinlichkeitsmaß, Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable, Unabhängiges Mengensystem, Unabhängigkeit (Stochastik), Von Vergröberung erzeugte Sigma-Algebra, Zufallsvariable
Warteschlangentheorie	Geburt und Sterbesysteme, Warteschlangentheorie
Zentraler Grenzwertsatz	Fehlerabschätzung Berry Esséen, Zentraler Grenzwertsatz

Beschreibung

Zur Klausur sind es nur noch 2 Tage. wie will ich mich in dieser kurzen Zeit darauf vorbereiten? In diesem Artikel nenne ich einige Lernstrategien und fasse den Stoff der Stochastik zusammen. Zuerst möchte ich einen Lernplan erstellen. Diese Lernplan sagt, was ich jeden Tag bis zur Klausur machen werde und ist präzise genug, das die anderen Klausuren wie Riemannsche und das Staatsexamen auch mit berücksichtigt werden. Ich fange dabei mit den Themengebieten an, die mir am schwersten fallen und arbeite mich dann zu den einfachen hoch. Unten stehen die verschiedenen Themen und wie gut ich die verstanden habe auf einer Skala bis 11. Am besten sollte ich versuchen schon einige Klausuraufgaben voherzusehen, indem ich bei jedem Thema, das ich bearbeite eine Beispielprüfungsfrage angebe.

Wenn man zu den Themen herunterscrollt, sieht man, dass ich die Aufgaben aus den Übungen hineinkopiert habe. An der Anzahl an Übungsaufgaben sieht man bereits, wie viel Wert Herr Deckert auf manche Inhalte legt. Ein weiterer Vorteil ist, dass ich dadurch verhindere 8 Übungsaufgaben zu einem Thema zu machen. Ich möchte smart lernen und daher ist es wahrscheinlich sinnvoll so drei Aufgaben zu machen, damit ich in dem Gebiet warm werde. Bei manchen Sachen fehlen mir noch einige Aufgaben. Das ist nicht so schlimm. Bald bearbeite ich wieder zusammen mit David und co. Klausuraufgaben. Während alle arbeiten, kopiere ich mir mal einige Aufgaben.

Aktuell habe ich ca 15 Themen zu denen ich jeweils 3 Aufgaben bearbeiten möchte. Wie in der Klausur, plane ich mir 15 Minuten pro Aufgabe ein, was eine Lernzeit von 11 Stunden ergibt. Eigentlich wäre das alles an einem einzigen Tag machbar. (Diese Einschätzung stellte sich ziemlich schnell aus unrealistisch heraus) Etwas länger vielleicht, weil ich mir die wichtigen Schlüsse einer Aufgabe auch aufschreiben will.

Bei Hensel - Riemannsche Geometrie wird es ähnlich aussehen. Dort muss ich aber sogar noch die Aufgaben sammeln. Ich auch mal wieder länger schlafen.

Lernziele

Lernziele für Tag der Klausur

• Karteikarten durcharbeiten
• Die Kapitel mit niedrigem Score machen (bei den Kapiteln hängen bereits gute Aufgaben an, für die anderen kann ich mir von Matthias welche geben lassen)
• Aus der VL sind einige Sachen nachzuholen
  • Poissonscher Punktprozess
  • Statistisches Modell
  • Dominiertes Maß
  • Likelihood Funktion
  • Likelihood Quotient
  • Parameter/Schätzer
  • Erwartungstreue
  • Konsistenz
  • Konfidenzbereiche
  • Maximum-Likelihood Schätzer

Kapitel

Kombinatorik (10/11)

Am Anfang des Semesters haben wir in einigen Übungsaufgaben ein wenig Kombinatorik gemacht. Solche Aufgaben sind in Stochastikklausuren sicher gerne gesehen.

Modellierung & Urnenmodelle (7/11)

Wir haben die Vorlesung mit dem Einführen von Urnenmodellen begonnen.

Münzwurfuniversum und Rademacherfunktionen (3/11)

David schwor, dass diese in der Klausur dran kommen werden. Ein Müzwurfuniversum ist nämlich der Prototypische Raum, mit dem Herr Deckert Zufallsvariablen einführte. Die wichtigsten Vergröberungen waren die Rademacherfunktionen, die den $k$-ten Münzwurf aus einem Universum extrahieren.

Maßtheorie (8/11)

Zu Beginn haben wir Wahrscheinlichkeitsmaße und grundlegende Definitionen aus vorherigen Semestern wiederholt. Wichtige Konzepte dieses Kapitels sind: Messraum, Sigma-Algebra, Borel-Lebesgue-Maß, Messbare Funktion, Mu-Integral.

Wahrscheinlichkeiten (8/11)

Wir definieren nun einige Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie wie Elementarereignis, Ereignis, Ergebnisraum.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten (8/11)

Ich erinnere mich gar nicht mehr daran, dass wir das explizit in der VL behandelt hätten aber es kam im Übungsblatt dran. Ich sollte das mal lieber üben.

Zufallsvariablen (6/11)

Indem wir mit einem abstrakten Raum mit Gleichverteilung beginnen und von diesem auf andere Räume abbilden erhalten wir eine Möglichkeit Zufallsvariablen zu definieren. Ein prototypischer Raum, aus dem man Abbilden kann, ist das Münzwurfuniversum. Das Münzwurfuniversum können wir fast als das Intervall $[0,1]$ verstehen. Eine Gleichverteilung des Universums entspricht einer Gleichverteilung auf $[0,1]$. Mithilfe der Rademacher Funktionen können wir zwischen den Perspektiven hin und her wechseln.

Verteilung, Dichte, Wahrscheinlichkeitsmaß (7/11)

Eine Zufallsvariable aus einem Urbildraum induziert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Bildraum. Natürlich können wir auf dem Bildraum auch ein anderes Wahrscheinlichkeitsmaß definieren.
Hat man eine Zufallsvariable mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb{R}$ gegeben, so kann man dessen Verteilung berechnen. Durch Ableitung der Verteilung erhalten wir die Dichte, deren Integral immer $1$ ergibt.

In der Vorlesung haben wir viele verschiedene diskrete und kontinuierliche Verteilungen kennengelernt, die formal eigentlich Dichten sind. Einige Beispiele sind Exponentialverteilung, Geometrische Verteilung, Normalverteilung, etc.

Erwartungswert, Varianz & Moment (8/11)

Der Erwartungswert und die Varianz sind aus der Schule bekannt. Varianz und Standardabweichung verwechsle ich immer noch ständig aber egal. Aus der Existenz von Erwartungswert und Varianz folgen einige ziemlich wichtige Sätze. Ich sollte lernen die Werte auszurechnen.

Korrelation, Kovarianz und Unabhängigkeit (4/11)

Beeinflusst eine Zufallsvariable den Wert einer anderen nicht, so sind die beiden Unabhängig. Beeinfluss die Größe einer Zufallsvariable nicht die Größe einer anderen, so sind die beiden unkorrelliert. Des Weiteren existiert noch eine Kovarianz (Stochastik) die etwas anderes macht.

Die drei Begriffe sind wichtig für die Formulierung verschiedener Sätze.

Borel-Cantelli-Lemma (7/11)

Das Borel-Cantelli-Lemma trifft eine Aussage für spezielle Ergebnisse mancher unendlich oft wiederholter Experimente. Ich weiß nicht, wo ich es sonst einteilen soll, daher ist es nun hier.

Abschätzungen (7/11)

Mit der Exponentielle Tschebyscheff-Ungleichung und der Markow Ungleichung kann man Wahrscheinlichkeiten leicht abschätzen.

Grenzwertsätze (8/11)

Der wichtigste Grenzwertsatz ist wohl der Zentraler Grenzwertsatz. Es gibt allerdings auch stärkere Formen, die zu einfachen Lösungen führen können. So ist beispielsweise das schwache Gesetz der großen Zahlen gut geeignet, um schnell Abschätzungen zu erhalten. Eine gute Aufgabe hierzu findet man in der Altklausur von 2005

Konvergenz von Verteilungen (6/11)

Sei $X$ eine reellwertige Zufallsvariable mit Erwartungswert und Varianz. Wir wiederholen das Experiment $n$ mal und betrachten den Durchschnittswert ${\hat{X}}_n=\sum ...$ Das Starkes Gesetz der großen Zahlen besagt, dass $\hat{X}$ fast sicher gegen $E(X)$ konvergiert. Das Schwaches Gesetz der Großen Zahlen besagt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ${\hat{X}}_n$ gegen einen Wert konvergiert, der weiter als $\epsilon$ von $E(X)$ entfernt ist, gegen null geht. Der Zentraler Grenzwertsatz besagt, dass ${\hat{X}}_n$ gegen die Normalverteilung konvergiert.

Auf eine Weise, die ich noch nicht ganz begriffen habe, verallgemeinern sich diese Gesetze zu Konvergenzen.

Faltung (7/11)

Addieren wir zwei reelle Zufallsvariablen, so erhalten wir eine Zufallsvariable deren Dichte die Faltung der Dichte der beiden Zufallsvariablen ist.

Berry-Esseen (8/11)

Dem Zentralen Grenzwertsatz zufolge konvergiert jedes wiederholte Experiment gegen eine Normalverteilung. Selbst bei vielen Versuchen ist aber ein Fehler zu erwarten. Dieser Fehler kann durch den

Andere Verteilungen (8/11)

In der Klausur werden als Rechenbeispiele viele Verteilungen wie Geometrische Verteilung, Normalverteilung Binomialverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Poisson Verteilung drankommen. Falls man in der Klausur für diese einen Erwartungswert, Varianz, Charakteristische Funktion berechnen muss, wäre es nicht, dumm, das schon mal gemacht zu haben. Ich habe eine Seite erstellt, wo ich alle Eigenschaften von verschiedenen Verteilungen notiert habe. (Siehe Wahrscheinlichkeitsdichte). Mir ist aufgefallen, dass ich immer noch nicht alle Sachen weiß.

Charakteristische Funktionen (7/11)

Die charakteristische Funktion ist eine Fouriertransformation (Stochastik). Sie wird genutzt, weil viele Probleme in der Fourrierwelt einfacher zu lösen sind. Beispielsweise kann man damit Faltungen untersuchen, indem man die Charakteristische Funktion der Addition betrachtet und feststellt, dass diese wieder eine charakteristische Funktion ist.