Satz von Arzelà-Ascoli

Beschreibung

Der Satz gibt eine Aussage über die Konvergenz einer Teilfolge, wenn man eine Folge von beliebigen Funktionen hat.

Satz

Lipschitzstetige Kurven

Sei $f_n:[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ eine Folge von $L$-Lipschitzstetigen Funktionen, lipschitzstetig für ein $L$, die durch eine Kompakte Menge $K$ begrenzt sind: $f_n[0,1]\subseteq K$.

Dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_i}$, die gegen eine $L$-lipschitzstetige Funktion $f:[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ mit $f[0,1]\subseteq K$ konvergiert.

Definition

Wegen der Kompaktheit vn $K$ gibt es eine Teilfolge von $f_n$, bei der die Anfangspunkte $f(0)$ gegen einen Wert konvergieren. Von dieser Teilfolge gibt es eine “Teil”-Teilfolge, sodass der Endpunkt $f_n(1)$ gegen einen Wert konvergiert.

Nun können wir in dieser “Teil”-Teilfolge eine weitere Teilfolge finden, sodass $f(0,5)$ gegen einen Wert konvergiert. Durch das ständige Wählen von Teilfolgen verfeinern wir die Abstände zwischen den Punkten, die wir gegen Grenzwerte konvergieren lassen.

Berücksichtigt man zuletzt die Lipschitzstetigkeit erhält man