Initial value problem

Description

In Aufgaben zu Differentialgleichungen wird häufig ein Startwertproblem $x(t_0)=x_0$ mitgegeben.

Der Graph der Lösung des DGL, die auch das Startwertproblem löst, muss durch den Punkt $(t_0,x_0)$ verlaufen.

Obacht: Eine Funktion, die die DGL und das Startwertproblem erfüllt, muss nicht immer eindeutig sein. (Siehe Arnold)

Definition

Definition Seien $k,n\in N$, $k$ ist die höchste Ableitung der Gleichung, $n$ ist die Dimension von der Lösung, $U\subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{K}}^{kn}$ ein Gebiet, $U$ ist der Defintionsbereich der Gleichung $f$ und $f:U\to {\mathbb{K}}^n$ eine Explicit differential equation Eine Lösung einer Expliziten Differentialgleichung$\lambda$ heißt Lösung des Anfangswertproblems $\begin{array}{c}{\lambda }^{(k)}=f(t,\lambda (t),{\lambda }^{\prime }(t),...,{\lambda }^{(k-1)}(t))\\ x(t_0)=x_0,x^{\prime }(t_0)=x_1,...,x^{(k-1)}(t_0)=x_{k-1}\end{array}$ wenn $t_0\in I$ und $\lambda (t_0)=x_0,{\lambda }^{\prime }(t_0)=x_1,...,{\lambda }^{(k-1)}(t_0)=x_{k-1}$

Properties

Existence

See Existence of ODE solutions

Eindeutigkeit

Siehe Uniqueness of ODE solutions