Interpolatorische Quadraturformel

Beschreibung

Wir können Funktionen integrieren, indem wir deren Interpolaton durch Polynome bilden und diese Integrieren. Das ist sinnvoll, da Polynome wesentlich leichter zu integrieren sind.

Mit Quadratur ist hier die Suche nach der Fläche unterm Graphen gemeint.

Definition

Die interpolatorische Quadraturformel zu $x_0,...,x_n\in [a,b]$ ist definiert durch $I_n:R[a,b]\to \mathbb{R},I_n(f):={\int }_a^b{p}_n(x)dx$ wobei $p_n=p_n(f)\in Po{l}_n(\mathbb{R})$ das Interpolationspolynom zu $((x_0,f(x_0),...,(x_n,f(x_n))$ ist.

Die Idee ist, dass wir eine Funktion durch ein Polynom approximieren und dann diese Ableiten

Eigenschaften

Gewichtungen

Seien $x_0,...,x_n\in [a,b]$ Stützpunkte. Sei $I_n$ die Interpolatorische Quadraturformel zu $f$.

Würden wir $I_n$ durch die Definition der Gewöhnlichen Quadraturformel ersetzen, so bekämen wir durch die Lagrangesches Interpolationspolynom die Gewichte: ${\sigma }_i=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{L}_i(x)dx$

Genauigkeit

$I_n$ hat Genauigkeitsgrad $\ge n$, d.h. ist für alle $q\in Po{l}_n(\mathbb{R})$ exakt.

Fehler zur Interpolierten Funktion

Ist die Funktion in $f\in C^{n+1}[a,b]$ so gilt der Fehler beim Integrieren: $|{\int }_a^{b}f(x)dx-I_n(f)|\le \frac{\Vert f^{(n+1)}{\Vert }_{\infty }}{(n+1)!}{\int }_a^b|{\omega }_{n+1}|dx$

wobei ${\omega }_{n+1}(x)={\prod }_{i=0}^n(x-x_i)$ das Newtonsches Basispolynom ist.

Fehler bei spezielleren Funktionen

Gilt sogar $f\in C^{\infty }[a,b]$ und $\Vert f^{(n)}{\Vert }_{\infty }\le Kn!R^n$ für ein $K\in {\mathbb{R}}_0^{+},R<(b-1{)}^{-1}$ wie bei Fehlerabschätzungen bei Polynominterpolation, dann gilt für jede Folge $(x_0,x_1,...)$ in $[a,b]$ mit ${\lim }_{n\to \infty }\left|{\int }_a^{b}f(x)dx-I_n(f)\right|=0$ die Ungleichung: $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx-I_n(f)\right|\le {\int }_a^b\Vert f-p_n{\Vert }_{\infty }dx=(b-a)\Vert f-p_n{\Vert }_{\infty }\to 0$ für $n\to \infty$

Noch präziserer Fehler

Kennt man das Vorzeichen des Fehlerterms, kann man Abschätzungen noch weiter verbessern: Gilt ${\omega }_{n+1}\ge 0$ oder $\le 0$, so gilt ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_n=\frac{f^{(n+1)}(\tau )}{(n+1)!}{\int }_a^b{\omega }_{n+1}(x)dx$ wenn ich das richtig verstehe, ist das nicht wirklich praktisch, weil man meistens Funktionen in $[a,b]$ interpoliert, dort aber eben die Nullstellen von ${\omega }_{n+1}$ liegen.