Karte

Beschreibung

Eine Mannigfaltigkeit ist eine Menge, die lokal aussieht, wie der Euklidische Raum

Definition

Sei

• $X$ eine $d$-dimensionale Topologische Mannigfaltigkeit
• $U\subseteq X$ eine offene Umgebung zum Punkt $a$

Ein Homöomorphismus $\phi :U\to V\subseteq {\mathbb{R}}^d$ heißt dann Karte von $X$ um den Punkt $a$.

Es ist die Abbildung der Gekrümmten “Fläche” auf eine “Ebene”

Koordinatenfunktionen

Sei $x^i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ die Funktion, die die $i$-te Koordinate ausgibt. Wir nennen $x^i\circ \phi$ die Koordinatenfunktion der Karte $\varphi$.

Koordinatensystem

Sei $\phi :U\to V$ eine Karte. Wir nennen $(U\phi )$ ein Koordinatensystem.

Kartenwechsel

Sind ${\phi }_1:U_1\to V_1$ und ${\phi }_2:U_2\to V_2$ Karten von $X$ mit $U_1\cap U_2\ne \varnothing$, so heißt ${\phi }_2\circ {\phi }_1^{-1}:{\phi }_1(U_1\cap U_2)\to {\phi }_2(U_1\cap U_2)$ der zugehörige Kartenwechsel.

Haben zwei Karten einen Schnittpunkt, dann kann man bei der Schnittfläche mit einem Kartenwechsel von einer Karte zur anderen springen.

Kartenwechsel bestimmen, was für Eigenschaften Mannigfaltigkeiten haben können. Sind sie glatt, differenzierbar, etc?