Satz von Polya

Beschreibung

Der Satz von Polya besagt, dass sich die Gewichteten Integrale von stetigen Funktionen aus den Integralen über allen Polynomen errechnen, ergeben.

Definition

Sei $\rho :[a,b]\to {\mathbb{R}}_0^{+}$ Gewichtsfunktion und $I_n:C[a,b]\to \mathbb{R},I_n(f)=(b-a){\sum }_{i=0}^n{\sigma }_{i,n}f(x_{i,n})$ eine Folge von Quadraturformeln zu Stützpunkten $x_{0,n},...,x_{n,n}\in [a,b]$ und Gewichten ${\sigma }_0,...,{\sigma }_n$. Dann gilt ${\lim }_{n\to \infty }{I}_n(f)={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx$ genau dann wenn gilt

1. Für alle Polynome $p$: ${\lim }_{n\to \infty }{I}_n(p)={\int }_a^{b}p(x)\rho (x)dx$
2. Es gibt ein $C>0$, sodass für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt: ${\sum }_{i=0}^n|{\sigma }_{i,n}|\le C$

Q: Was ist die Aussage des Satzes von Polya A: Eine Folge von Quadraturformeln approximiert stetige Funktionen $C[a,b]$ genau dann, wenn

1. Die Folge alle Polynome approximiert
2. Die aufsummierten Beträge der Gewichte beschränkt sind

Eigenschaften

\newcommand{\R}{\mathbb R}