Freie Ableitung

Beschreibung

Die Freie Ableitung ist eine Verallgemeinerung der Ableitung für einen Monoidring einer Freie Gruppe. Wenn ich es richtig verstehe, begreifen wir jedes Basiselement einer Freien Gruppe als Variable, nach der wir (partiell) ableiten können

Definition

Sei $\mathbb{Z}{F}_n$ der Monoidring über der Freien Gruppe. Die freie Ableitung ist ein Operator $\frac{\partial }{\partial e_j}:\mathbb{Z}{F}_n\to \mathbb{Z}{F}_n$ bestimmt durch die folgenden Eigenschaften:

• $\frac{\partial }{\partial e_j}(e_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$
• $\frac{\partial }{\partial e_j}({\alpha }_1{\alpha }_2)=\frac{\partial }{\partial e_j}({\alpha }_1)+{\alpha }_1\frac{\partial }{\partial e_j}({\alpha }_2)$ für ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in F_n$
• Linearität: $\frac{\partial }{\partial e_j}({\ddot{\alpha }}_1+{\ddot{\alpha }}_2)=\frac{\partial }{\partial e_j}{\ddot{\alpha }}_1+\frac{\partial }{\partial e_j}{\ddot{\alpha }}_2$ für ${\ddot{\alpha }}_1,{\ddot{\alpha }}_2\in \mathbb{Z}{F}_n$

Eigenschaften

Gefolgerte Ableitungsregeln

Aus oberen Gleichungen folgen einige Ableitungsregeln, die wir erwarten würden:

• $\frac{\partial }{\partial e_j}0=0$
• $\frac{\partial }{\partial e_j}id=0$
• $\frac{\partial }{\partial e_j}{\alpha }^{-1}=-{\alpha }^{-1}\frac{\partial }{\partial e_j}(\alpha )$

Allgemeine Ableitungsregel

Wir können aus oberen Regeln eine umfangreiche Ableitungsregel erzeugen. Sei $\alpha =e_{{\mu }_1}^{{\epsilon }_1}...e_{{\mu }_r}^{{\epsilon }_r}\in F_n$ ein reduziertes Wort. Dann gilt: $\frac{\partial }{\partial e_j}\alpha ={\sum }_{k=1}^r{\epsilon }_k{\delta }_{{\mu }_{k}j}{e}_{{\mu }_1}^{{\epsilon }_1}...e_{{\mu }_{k-1}}^{{\epsilon }_{k-1}}{e}_{{\mu }_k}^{({\epsilon }_k-1)/2}$

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