Multijetbündel

Beschreibung

Das Multijetbündel ist eine Verallgemeinerung vom Jetbündel. Wenn ich es richtig verstehe sind es Jetbündel auf dem Konfigurationsraum einer Mannigfaltigkeit $N$.

Definition

Sei $N,P$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. $S\ge 1$

• Konfigurationsraum: $N^{(s)}:=\{(x_1,...,x_s)\in N:x_i\ne x_j,i\ne j\}$
• ${}_s{J}^k(N,P):=({\alpha }^s{)}^{-1}(N^{(s)})$

wobei ${\alpha }^s:(J^k(N,P))\to N^s$ ist das Produkt von Quellabbildungen. Das Resultat ${}_s{J}^k(N,P)$ ist ein Raum, bestehend aus $k$-Jet-Tupel $(z_1,...,z_s)$ mit $\alpha (z_i)\ne \alpha (z_j)$ wenn $i\ne j$. Er wird als der $k$-fache Multijetbündel der Abbildungen von $N$ nach $P$ bezeichnet.

Induzierter Multijet

Ist $f:N\to P$ eine Abbildung so definieren wir ${}_s{j}^{k}f:N^{(s)}{\to }_s{J}^k(N,P)$ als die Abbildung ${}_s{j}^{k}f(x_1,...,x_n)=(j^{k}f(x_1),...,j^{k}f(x_n))$

Faserraum

Man kann ${}_r{J}^k(N,P)$ als einen Faserraum über $N^{(s)}\times P^r$ betrachten. Die Projektion ist gegeben durch $(\alpha \times \beta {)}^s{:}_s{J}^k(N,P)\to (N\times P{)}^k$ Dadurch der definierte Raum wirklich zu einem Faserbündel

Eigenschaften

Eigenschaft

$C^{\infty }(N,P)$ ist ein Baire Raum (d.h. ein zusammenziehbarer Schnitt von offenen, dichten Untermengen ist dicht)

Gruppenwirkung

Die Diffeomorphismengruppen ${\text{Diff}}^k(N),{\text{Diff}}^k(P)$ der Konfigurationsräume $N^{(k)},P^{(k)}$ wirken auf einem Multijetbündel auf folgende Weise: Sei $h\in {\text{Diff}}^{k}N,h^{\prime }\in {\text{D}}^{k}P,z=(z_1,...,z_k){\in }_r{J}^k(N,P),x_i={\pi }_N{z}_i$. Es gibt ein $f=(f_1,...,f_s)$, sodass $j^k{f}_i(z_i)$. Wir setzen nun $(h,h^{\prime })\cdot z=(j^k(h{f}_1{h}^{-1})(h{x}_1),...,j^k(h{f}_s{h}^{-1})(h{x}_1))$

Die Gruppenwirkung ändert also den Fußpunkt der Multijets!

Die definierte Gruppenwirkung hat folgende Eigenschaft

Orbit ist Mannigfaltigkeit

Jeder Orbit (Gruppenoperation) unter der oberen Gruppenwirkung bildet eine Untermannigfaltigkeit.

Charakterisierung des Tangentialraumes

Charakterisierung der Transversalität eines Multijets

Sei $W$ ein Orbit. o.E. sei $z{\in }_r{J}^k(N,P)$ nach gleichen Bildern gruppiert. d.h. ${\beta }^{r}z=(y_1^{r(1)},...,y_{\mu }^{r(\mu )}),y_i\ne y_j\text{ fu¨r }i\ne j$ Die Abbildung ${}_r{j}^{k}f$ ist transversal zu $W=({\text{Diff}}^{k}N,{\text{Diff}}^{k}P)z$ in $x={\pi }_N^{r}z\in N^{(r)}$ genau dann, wenn die Abbildungen transversal in allen Gruppierungen ist. D.h. für $1\le i\le \mu$ ist die Abbildung ${}_{r(i)}{j}^{k}f$ transversal zu $W=({\text{Diff}}^{k(i)}N,{\text{Diff}}^{k(i)}P)(z_{k(1)+...+k(i-1)+1},...,z_{k(1)+...+k(i)})$

Besitzt man ein Vektorfeld, so ist die lokal einparametrige Gruppe ein Glatter Diffeomorphismus der Fläche $N$, wirkt also auf einem Multijetbündel.

Lokal einparametrige Gruppe

Sei $V\in \Gamma (TN)$ ein Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit) auf $N$ mit kompaktem Träger. Sei ${\theta }_t(x)$ die Lokale Einparametrige Gruppe. Sei $z_t={}_r{j}^k(f\circ {\theta }_t^{-1})({\theta }_t(x))$ Sei $V_S$ der Schnittkeim von $V$ in $S$.

Dichtheit Transversaler Jets

Sei $\Sigma \subset {}_s{J}^k(N,P)$ eine Untermannigfaltigkeit. Dann ist $T_{\Sigma }:=\{f\in C^{\infty }(N,P):{}_s{j}^{k}f⋔\Sigma \}$ residuell und damit dicht.

ToDo: Hier sind viel zu viele Eigenschaften versammelt. DIe könnten mal aufgeräumt werden.

Strukturgruppe von ${}_s{J}^k(N,P)$ (als ein Faserbündel)

Definiere $\overline{{}_s{J}^k}(N,P):=({\beta }^s{)}^{-1}({\Delta }_P)$, wobei ${\beta }^s:{}_s{J}^k(N,P)\to P^s,(...,j^k{f}_i(x_i),...)\mapsto (...,f_i(x_i),...)$. ${\Delta }_P$ ist die Diagonale $\{(y,...,y):y\in P\}$. Sei nun $\overline{{\beta }^s}:\overline{{}_s{J}^k}(N,P)\to P,(...,j^k{f}_i(x_i),...)\mapsto f_i(x_i)$. Die Projektionsabbildung ist $\pi :=\alpha \times \overline{{\beta }^s}:\overline{{}_s{J}^k}(N,P)\to N^{(s)}\times P$.

Eine Faser von $\pi$ ist ein Diffeo zu $J^k(n,p{)}^s$. Wir definieren nun $\overline{{}_s{J}^{k}A}:=\{(j^k{\Phi }_1(0),...,j^k{\Phi }_s(0),j^k\varphi (0))\}$. (Auf eine Weise, die ich noch nicht ganz verstanden habe).

Proposition

1. $\overline{{}_s{J}^k}A\subseteq J^k(n,n{)}^s\times J^k(p,p))$ ist eine offene Menge und eine Mannigfaltigkeit.
2. $\overline{{}_s{J}^k}A$ ist eine Lie-Gruppe durch Komposition der Repräsentanten.
3. $\overline{{}_s{J}^k}A\circlearrowright J^k(n,p{)}^s$ durch Komposition der Repräsentanten. $(j^k{\Phi }_1(0),...,j^k{\Phi }_s(0),j^k\varphi (0))\cdot (...,j^k{f}_i(0),...)=(...,j^k(\varphi \circ f_i\circ {\Phi }_i^{-1})(0),...)$
4. $\pi$ ist ein Faserbündel mit Faser $J^k(n,p{)}^s$ und Strukturgruppe $\overline{{}_s{J}^k}A$

Beweis von Satz 5.2 (Was auch immer das ist)

Sei ${\Sigma }_s:=\{(j^{p+1}{f}_1(0),...,j^{p+1}{f}_s(0)):f:=(f_1,...,f_s)\text{ instabil}\}\subseteq J^{p+1}(n,p{)}^s$ die Menge der instabilen Jets. Nutze die Identifikation $J^k(n,p)\cong {\mathbb{R}}^1$ und zeige, dass ${\Sigma }_s$ eine algebraische Menge ist (d.h. Nullmenge von Polynomen ist). Ein Element $f\in m_n({ϵ}_n^p)1^s$ ist instabil g.d.w. $({ϵ}_n^p{)}^s\supset ft(({ϵ}_n^n))+\omega f({ϵ}_{p^p)}+m_n^{p+1}({ϵ}_n^p{)}^s$. Man erhält damit, dass ${\Sigma }_s$ eine endliche Vereinigung von Untermannigfaltigkeiten ist. (Whitney 1950)

Die Untermannigfaltigkeit ${\Sigma }_s$ ist sogar unter der Wirkung von $\overline{{}_s{J}^k}A$ als Menge invariant.

Man kann dadurch eine Mannigfaltigkeit ${\Sigma }_s(N,P)\subseteq \overline{{}_s{J}^k}(N,P)\subseteq {}_s{J}^k(N,P)$ mit den folgenden Eigenschaften erhalten:

• Der Schnitt ${\Sigma }_s(N,P)\cap (\text{Faser von }\pi )$ ist durch lokale Trivialisationen von $\pi$ mit ${\Sigma }_s$ identifizierbar.
• ${\Sigma }_s(N,P)$ ist lokal eine endliche Vereinigung von Untermannigfaltigkeiten und damit global eine abzählbare Vereinigung von Untermannigfaltigkeiten von $\overline{{}_s{J}^k}(N,P)$ und ${}_s{J}^k(N,P)$.
• Das Minimum der obigen Kodimensionen der Untermannigfaltigkeiten ist $\overline{{}_s{J}^k}(N,P)$ ist von Kodimension ${\Sigma }_s$ Insbesondere ist dieses Minimum nur von $n=\dim N$ und $p=\dim P$ abhängig.