Beschreibung
Ein Teichmüller-Raum einer Fläche , beschreibt die topologische Struktur aller möglichen komplexen Strukturen auf einer Fläche.
Definition
Sei eine hyperbolische Quasikonforme Fläche. Der Teichmüller Raum modelliert auf ist der Raum der Teichmüller-Äquivalenz-Klassen von Paaren , wobei eine Riemannsche Fläche und eine Quasikonforme Abbildung. Die Abbildung wird als Markierung von auf .
Satt komplexen Strukturen können wir auch den Quotienten von allen hyperboln. Sei eine Hyperbolische Fläche. Einische Fläche bzgl. **d aus einer vollständige Hyperbolische Fläche endlichen Volumens und eine Homöomorphismus . Der **Teichmüller-mathcal{T}(S) = {(f, M) : (f, M) \text{ ist eine markierte hyperbolische Fläche}} / \sim$$ wobei , g.d.w. $f’ \circ Isometrie ist. Sind die beiden Paare durch eine Isometrie verwandt, dann bedeutet dass, dass sie eigentlich die gleiche hyperbolische Geometrie definieren.
Eigenschaften
Existenz einer Metrik
Auf dem Teichmüller-Raum lässt sich auf natürliche Weise die Teichmüller-Metrik definieren.
Ich glaube sind die Homotopieklassen geschlossener, essentieller Kurven. Wir definieren dazu die Funktion : \begin{align}i': \mathcal{T}(S - P) &\to \mathbb{R}^{\mathcal{C}} \\ (g, M) &\mapsto f: \mathcal{C} \to \mathbb{R}\end{align} wobei die Länge der eindeutigen geodätischen in ist, die homotop zu ist. (Die Geodätische ist eindeutig, weil wir einen hyperbolischen Raum haben) Wie auch bei der ähnlich definierten Abbildung des Raum der projektiven messbaren Blätterungen kodieren die Funktionen die wichtigsten Eigenschaften des hyperbolischen Raumes. Wir betrachten die Projektion $p: \mathbb{R}^{\mathder zwei Funktionen gleich sind, wenn sie sich um eine Konstante unterscheiden.
Die Konkatenation ist eine Bijektion und dessen Bild ist homöormorph zu einem offenen Ball von Dimension . Ferner ist der Rand des Balls in genau das Bild des projektiven Raumes der messbaren Blätterungen.
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