Linke Bowen-Franks Gruppe

Beschreibung

Die Linke Bowen-Franks Gruppen sind eine weitere Invariante der Shiftäquivalenz. Wir nennen sie links, weil das Polynom hier links an den Nenner multipliziert wird. Logischerweise gibt es noch eine rechte Variante. Die Linke wird aber üblicherweise verwendet.

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring (z.B. $\mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Z}[t]$). Kommutative Ringe erlauben Summen, damit definieren $R$-Matrizen Homomorphismen auf $R^n$. Sei $p(x)\in R[x]$. Definiere die matrixwertige Funktion $p(A)=a_{0}I+a_{1}A+...+a_k{A}^k$. Sei nun $A$ eine Adjazenzmatrix und wähle $p(x)\in R[x]$ mit einem multiplikativ invertierbaren Element $a_0$ (z.B. $1$). Die Bowen-Franks Gruppe ist die additive Quotientengruppe $\frac{R^n}{p(A)R^n}$

Eigenschaften

Induzierter Automorphismus

Sei $A$ eine Matrix. Sie induziert einen Automorphismus $A_{\ast }:\frac{R^n}{p(A)R^n}\to \frac{R^n}{p(A)R^n}$ durch: $A_{\ast }:\frac{R^n}{p(A)R^n}\to \frac{R^n}{p(A)R^n},A_{\ast }(x+p(A)R^n)=Ax+p(A)R^n$

Shiftäquivalenzinvariante

Seien $A,B$ shiftäquivalent. Dann sind die Frank-Bowen Gruppen $\frac{R^n}{p(A)R^n},\frac{R^n}{p(B)R^n}$ isomorph und die induzierten Automorphismen $A_{\ast },B_{\ast }$ sind zueinander durch einen Automorphismus konjugiert.

Beweis: Angenommen $R,S,l$ beschreibt die Shiftäquivalenz. Definiere einen Gruppenhomomorphismus $S_{\ast }:\frac{R^n}{p(A)R^n}\to \frac{R^n}{p(B)R^n},S_{\ast }(x+p(A)R^n)=Sx+p(B)R^m$ Definiere $R_{\ast }$ analog. Die Gleichung $A^l=RS$ übersetzt sich zu $A_{\ast }^l=R_{\ast }{S}_{\ast }$. Da $A_{\ast }^l$ ein Automorphismusmus ist, ist $R_{\ast }$ injektiv und $S_{\ast }$ surjektiv. Die Betrachtung von $B_{\ast }^l$ erlaubt, den Schluss, dass $R_{\ast },S_{\ast }$ Isomorphismen sind. Durch die Gleichung $AR=RB$ erhalten wir die Konjugation $A_{\ast }{R}_{\ast }=R_{\ast }{B}_{\ast }$.

Beispiele

Einfaches Beispiel

Ich wähle jetzt dumme Werte, um mir die Gruppen vorstellen zu können. Sei $R=\mathbb{Z}$ und $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. Sei $p(x)=x^2+x$. Die Frank-Bowen-Gruppe ist dann $C_6\times C_6$.

Einfaches Beispiel 2

$R=\mathbb{Z}$ und $p(x)=1-x$. Der Automorphismus $A_{\ast }$ ist in dem Fall die Identität, denn $A_{\ast }(x+(I-A){\mathbb{Z}}^n)=Ax+(I-A){\mathbb{Z}}^n$ und $x-Ax=(I-A)x\in (I-A)\mathbb{Z}$, also dem Nullnebenklasse. (d.h. die Abbildung bewegt den Punkt nicht in einen andere Nebenklasse). Die Gruppe $\frac{{\mathbb{Z}}^n}{(I-A){\mathbb{Z}}^n}$ kann leicht berechnet werden. Es ist eine Endlich Erzeugte Abelsche Gruppe und ist damit isomorph zu einer direktem Produkt auf endlichen Zyklischen Gruppen und Kopien von $\mathbb{Z}$. Es ist möglich, die Matrix $I-A$ durch elementare Zeilen und Spaltenoperationen zu diagonalisieren. Tut man dass, erhält man Werte $d_1,...,d_n$ auf der Diagonalen. Diese werden als elementare Teiler von $I-A$ bezeichnet. $\frac{{\mathbb{Z}}^n}{(I-A){\mathbb{Z}}^n}$ ist isomorph zu $\oplus C_{d_i}$.

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