Beschreibung

Auf Zöpfen können wir eine teilweise Ordnungsrelation definieren. Ein Zopf $a$ ist kleiner als ein anderer, wenn $b$ mit $a$ beginnt. Diese Ordnung wurde von Garside für die Linksnormalform implizit genutzt. Analog könnte man sich auch eine Suffix-Ordnung vorstellen. Diese wäre aber nicht viel interessanter. Die Ordnung bildet einen Verband.

Definition

Für zwei Zöpfe $a, b \in B_{n}$ sagen wir $a < b$ , wenn es ein positives $c \in B_{n}^{+}$ gibt sodass $a c = b$ . $a$ ist der dann der Zopfanfang von $b$ . Wir sagen $a$ ist der Präfix von $b$ .

Eigenschaften

Definitiert auf positiven Zöpfen

Die Präfix-Ordnung ist auf positiven Zöpfen wohldefiniert. Desweiteren ist jeder Präfix von positiven Zöpfen wieder positiv.

Invariant unter Linksmultiplikation

Die Ordnung ist unter Links-Multiplikation invariant.

Man kann sich die Frage stellen, ob es so etwas wie einen größten gemeinsamen Teiler gibt? Für zwei Zöpfe $a, b$ wäre der $gg T$ der größte Zopf der kleiner als $a$ und $b$ ist. Analog könnte man sich die Frage um den $k g V$ stellen.

Eindeutigkeit des $gg T$ und $k g V$

Der $gg T$ bzw. $k g V$ ist eindeutig und wird mit $\land$ bzw. $\lor$ angegeben. Damit bildet die Ordnung einen Verband.

Beweis: Die Artin-Relationen sind homogen (was auch immer das heißt). Äquivalente Wörter haben damit die gleiche Länge. Da es nur endlich viele Wörter der Länge $\leq n$ gibt, existiert ein $gg T$ . Angenommen, man hat zwei $gg T$ bezeichnet $d_{1}, d_{2}$ . Haben die Wörter die gleiche Länge, dann gilt $d_{1} = d_{2}$ , sonst gilt o.E. $d_{1} < d_{2}$ (Widerspruch zu ggT).

lit_BasicResultsBraid lit_gonzalez-menesesReducibleBraidsGarside2011

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Präfix-Ordnung (Zopf)

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