Fundamental group

Beschreibung

Neben der Mapping class group ist die Fundamentalgruppe (auch erste Homotopiegruppe) ein weiteres nützliches Hilfsmittel, um den Zusammenhang von Topologie und Gruppentheorie zu studieren.

Es handelt sich hierbei um einen Funktor, da sie einen Topologischer Raum in eine Group umwandelt. Es kann außerdem als Knoteninvariante genutzt werden.

Definition

Die Fundamentalgruppe einer Glatte Mannigfaltigkeit $M$ und Fußpunkt $x_0\in M$ wird notiert mit ${\pi }_1(M,x_0)$ ist die Menge der Homotopieklassen von geschlosenen Kurven mit Fußpunkt $x_0$, zusammen mit der

Eigenschaften

Gruppe

Die Fundamentalgruppe ist eine Group. Das Produkt entsteht durch die Konkatenation zweier Kurven. Das Inverse erhalten wir, indem wir eine Schleife $\gamma$ rückwärts durchlaufen. Da ${\gamma }^{-1}\circ \gamma$ sich stetig zu konstanten Kurve bei $x_0$ zusammenziehen lässt, ist das eine Inverse Operation.

Ignorierbarer Fußpunkt

Ist $M$ zusammenhängend, so ist ${\pi }_1(M,x_0)$ für alle $x_0\in M$ gleich und wir schreiben einfach ${\pi }_1(M)$.

Knoteninvariante

Indem die Fundamentalgruppe des Komplementraum betrachtet wird, kann die Fundamentalgruppe als Knoteninvariante behandelt werden.

Fundamentalgruppe von Produkträumen

Seien $X,Y$ zwei pfadzusammenhängende Produkträume. Dann gilt ${\pi }_1(X\times Y)\cong {\pi }_1(X)\times {\pi }_1(Y)$

Induzierte Homomorphismen

Siehe Induzierter Homomorphismus (Fundamentalgruppe)

Zerlegung von Fundamentalgruppen

Ist ein Raum $X$ eine Vereinigung von Pfadzusammenhängenden offenen Mengen $A_{\alpha }$, von denen jede den Fußpunkt $x_0$ enthält und wenn jeder Schnitt von zwei Mengen pfadzusammenhängend ist, dann ist jede Schleife in $X$ bei $x_0$ homotop zu einem Produkt von Schleifen wobei jede Schleife vollständig in einer Zusammenhangskomponente $A_{\alpha }$ liegt.

Dies ist ein sehr nützliches Lemma, da man es nutzen kann, um zu zeigen, dass Räume eine triviale Fundamentalgruppe besitzen, indem man sie in triviale Teilmengen aufteilt.

Beispiele

Kreis $S^1$

Die Fundamentalgruppe des Kreises $S^1$ ist ${\pi }_1(S^1)=S^1$

Beweis: Zeige, dass jede geschlossene Kurve $\gamma$ mit Fußpunkt $(0,1)$ homotop zu einer Funktion ${\omega }_n(s)=(\cos (2\pi s),\sin (2\pi s))$ ist. Zeige, dann dass die ${\omega }_n$ nicht zueinander homotop sind. Betrachte die eindeutige Hebung $\tilde{\gamma }$, induziert durch $p:\mathbb{R}\to S^1,s\mapsto (\cos (2\pi s),\sin (2\pi s))$, die bei $0\in p^{-1}((0,1))$ beginnt. Diese endet bei einem $n\in p^{-1}((0,1))=\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}$. In $\mathbb{R}$ lässt sich nun eine Homotopie zu ${\tilde{\omega }}_n(s)$ angeben und nach $S^1$ projizieren. Die ${\omega }_n$ sind nicht homotop zueinander. Angenommen, es gäbe eine Homotopie zwischen ${\omega }_n$ und ${\omega }_m$, dann gäbe es auch eine eindeutige Homotopie zwischen ${\tilde{\omega }}_n$ und ${\tilde{\omega }}_m$. Dies ist aber nicht möglich, da die Endpunkte unterschiedlich sind.

$2$-Torus

Die Fundamentalgruppe des $n$-Torus $T^2$ ist ${\pi }_1(T^n)={\mathbb{Z}}^n$. Sie ist abelsch und damit isomorph der Homologiegruppe $H(T^n,\mathbb{Z})$.

Die Erzeuger der Fundamentalgruppe sind die einfachen Schleife um die Löcher des Torus.

Beweis: Die Fundamentalgruppe kommutiert mit dem Produkt. Damit gilt ${\pi }_1(T^2)={\pi }_1(S^1\times S^1)={\pi }_1(S^1)\times {\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. Induktion gibt das Ergebnis für die anderen Tori.

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