Beschreibung
Definition
Zahlen werden algebraisch unabhängig über einem Körper genannt, wenn es kein Polynom gibt, für das gilt:
Eigenschaften
Ist der Körper abzählbar, dann gibt es abzählbar unendlich viele algebraisch unabhängige Zahlen.
Beweis Zeige: Wenn abzählbar ist, dann gibt es für alle immer Algebraisch Unabhängige Element
Für algebraische Unabhängigkeit dürfen keine algebraischen Zahlen verwenden. Wären algebraische Elemente, dann könnte man ein solches Polynom erzeugen, indem man die Minimalpolynome der oberen Zahlen miteinander multipliziert. Noch einfacher, ist eine Zahl algebraisch, dann erfüllt sein Minimalpolynom die Bedingung.
Die Zahlen müssen also Transzendent sein. Eine einzige Zahl ist automatisch algebraisch unabhängig, denn es gibt kein Polyom mit . Wir können einfach so eine Transzendente Zahl finden, da die Menge aller Algebraischen Zahlen azählbar ist, während überabzählbar ist
Konstruiere algebraisch unabhängie Zahlen wie folgt: Wähle für eine Zahl, die in transzendent ist. (was wir machen können, da abzählbar und damit die Menge seiner algebraischen Zahlen ebenfalls abzählbar ist.) Wähle dann für eine Zahl, die in transzendent ist. usw.
Die daraus erhaltenen Zahlen sind algebraisch unabhängig, denn angenommen sie wären es nicht, dann gäbe es ein Polynom mit . Setze alle Elemente bis auf das letzte ein: ist ein eindiensionales Polynom mit Koeffizienten aus . Damit ist aber algebraisch über , was im Widerspruch zur Methode steht, mit der wir die Zahlen erhalten haben. Anmerkung: Falls konstant ist, also nicht von abhängt, verwende für den Beweis.
Beispiel
Gegenbeispiel
Die Zahlen und sind transzendent aber nicht algebraisch unabhängig, da sie Nullstellen des Polynoms sind.
\newcommand{\R}{\mathbb R}