Description

Definition

Eine Isolated singularity heißt ein Pol der Ordnung von der analytischen Funktion , wenn der Hauptteil von in ein Polynom (Komplexe Analysis) in der Variablen vom Grad ist. Die Bezeichnung kommt offensichtlich davon, dass man einen Pol n-ten Grades der Funktion nennt.

Charakterisierung durch Folgen

Sei und analytisch. ist genau dann ein Pol, wenn für alle Folgen die gegen gehen

Charakterisisrung Pol m-ter Ordnung

Sei und analytisch. ist genau dann ein Pol m-ter Ordnung, wenn eine der folgenden erfüllt ist:

  • Es gibt eine analytische Funktion mit , sodass für alle erfüllt ist. Diese Äquivalenz ist ziemlich offensichtlich, wie mir gerade auffällt. Der Hauptteil von ist endlich lang, daher müsste man einfach das ausklammern können.
  • Es gibt eine Umgebung von und , sodass für alle erfüllt ist. Das erinnert mich sehr an die Abschätzung eines Polynoms
  • Für ist und existert
  • Die Ordnung (Analysis) von ist :

Charakterisierung Pol erster Ordnung

Sei offen und , . Sei mit

  • für

Dann ist ein Pol 1.Ordnung von und