Spiegelung an Hyperebene

Beschreibung

Eine Spiegelung an Hyperebene ist wie eine normale Achsenspiegelung für andersdimensionale Räume.

Definition

Metrische Definition

Die Reflektion an der Hyperebene $H=p+V^{\perp }$ ist die Abbildung ${\nu }_H(H)=\{\begin{array}{ll}x& \text{ falls }x\in H\\ y& \text{wobei y=x der eindeutige Punkt mit ΠH(y)=ΠH(x) und d(H,x)=d(H,y)}\end{array}$

Skalar Definition

Sei $H=p+V^{\perp }$ wobei $V^{\perp }$ der Raum aller Vektoren ist, die senkrecht zu $v$ mit $||v||=1$ stehen. Dann gilt ${\nu }_H(x)=x-2⟨x-p,v⟩v$

Eigenschaften

Isometrie

Eine Spiegelung an einer Hyperebene ist eine Isometrie

Zweifache Spiegelung

Spiegelt man Punkte an zwei parallelen affinen Hyperebenen ist das Resultat einfach eine Translation um den doppelten Abstand der Ebenen.

Zweifache Spiegelung

Spiegelt man Punkte an zwei Hyperebenen, die durch den Ursprung verlaufen, ist das Resultat eine Rotation um den doppelten Winkel des Winkels zwischen den Ebenen.

\newcommand{\R}{\ $

alpha}$