Beschreibung

Die Lie-Algebra ist en Konzept, das aus einer Lie Gruppe hergeleitet werden kann. Es ist in gewisser Weise das Vektorraum-Analog einer Lie Gruppe. Geometrisch ist es einfach der Tangentialraum bei der IdentitÀt. Der Zusammenhang entsteht durch das Exponential (GeodÀtische), das jedem Punkt des Tangentenraumes einen Punkt der Lie-Algebra zuordnet.

Definition

Eine (reelle) Lie Algebra ist ein (reeller) Vektorraum mit einer Bilineare Abbildung sodass:

  1. Jacobi-IdentitÀt:

Manchmal benutzt man fĂŒr die Lie-Algebra auch die Notation .

Konstruktion aus Lie-Gruppe

Sei eine Lie Gruppe. Setze . Wir identifizieren mit einem links-invarianten Vektorfeld

Eigenschafrlegbarkeit

Eine Lie-Algebra kann zerlegt werden in sind wobei Transvektion von GeodÀtischen sind.

Beispiele

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

der Vektorfeld (Vektorraum) auf einer Glatte Mannigfaltigkeit bildet zusammen mit der Lie Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra.

Algebr [Links-Algebra)]]

llotRiema--- veranstaltung: “Hensel - Differentiable Manifolds” typ: Mathematikartikel

Beschreibung

Die Lie-Algebra ist en Konzept, das aus einer Lie Gruppe hergeleitet werden kann. Es ist in gewisser Weise das Vektorraum-Analog einer Lie Gruppe. Geometrisch ist es einfach der Tangentialraum bei der IdentitÀt. Der Zusammenhang entsteht durch das Exponential (GeodÀtische), das jedem Punkt des Tangentenraumes einen Punkt der Lie-Algebra zuordnet.

Definition

Eine (reelle) Lie Algebra ist ein (reeller) Vektorraum mit einer Bilineare Abbildung sodass:

  1. Jacobi-IdentitÀt:

Manchmal benutzt man fĂŒr die Lie-Algebra auch die Notation .

Konstruktion aus Lie-Gruppe

Sei eine Lie Gruppe. Setze . Wir identifizieren mit einem links-invarianten Vektorfeld

Eigenschaften

Zerlegbarkeit

Eine Lie-Algebra kann zerlegt werden in wobei

  • sind wobei Transvektion von GeodĂ€tischen sind.

Beispiele

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Der Vektorraum der Vektorfeld (Vektorraum) auf einer Glatte Mannigfaltigkeit bildet zusammen mit der Lie Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra.

Algebr [Linksinvariantes Vektorfeld (Lie-Algebra)]]

llotRiemannianGeometry2004]]