Biholomorphic map

Description

Biholomorphic maps (sometimes also called conformal map, because angles are preserved at all points) are Holomorphic functions whose inverses are holomorphic as well.

Definition

$f$ ist biholomorph, wenn $f$ bijektiv und holomorph und $f^{-1}$ holomorph ist.

Charakterisierung I

Sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ $f:U\subseteq \mathbb{C}$ ist genau dann biholomorph, wenn $f$ bijektiv und holomorph[^3]

Charaktierisierung II

Es sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ konvex, $f:U\to \mathbb{C}$ holomorph, $g:U\to f(U),z\mapsto f(z)$ Ist $(R{e}^{\prime }(f^{\prime }(\xi )))>0$ für alle $\xi \in U$, dann ist $g$ biholomorph Ist $(I{m}^{\prime }(f^{\prime }(\xi )))>0$ für alle $\xi \in U$, dann ist $g$ biholomorph

Examples

Example

$f:\{z\in \mathbb{C}:Re(z)>0\}\to \mathbb{C}\backslash ]-\infty ,0],z\mapsto z^2$ ist biholomorph.