Hauptsatz von symmetrischen Polynomen

Beschreibung

Der Hauptsatz sagt aus, dass jedes Symmetrisches Polynom als Polynom in den Elementarsymmetrischen Polynomen geschrieben werden kann.

Übungen

Waerden 5.17 Potenzsumme

Für beliebige $n$, beschreibe die “Potenzsummen” $\sum x_i,\sum x_i^2,\sum x_i^3$ durch elementarsymmetrische Polynome.

Beginne mit $\sum x_i^2$: Nach dem Beweis von Hadlock und Waerden können wir $s_1^2={\sum }_{i_1,i_2\in \{1,...,n\}}{x}_{i_1}{x}_{i_2}$. Davon abziehen. Es bleibt übrig $-{\sum }_{\{i_1,i_2\}\subseteq \{1,..,n\}}{x}_{i_1}{x}_{i_2}$. Das ist einfach $s_2$. Wir erhalten also $s_1^2-s_2$.

Beginne mit $\sum x_i^3$: Nach dem Beweis von Hadlock und Waerden können wir $s_1^3={\sum }_{i_1,i_2,i_3\in \{1,...,n\}}{x}_{i_1}{x}_{i_2}{x}_{i_3}$ davon abziehen. Es bleibt übrig ein Term $-x_1^2{x}_2$ und $-x_1{x}_2{x}_3$. Der erste Term ist auch in $s_1{s}_2$ enthalten. Addiert man $s_1{s}_2$, dann verschwindet der erste Term. Stattdessen erhalt man $3x_1{x}_2{x}_3$. $3$ für alle Möglichkeiten, diesen Term zu erzeugen.

Ich denke, die Antwort ist: $s_1^3-s_1{s}_2+4s_3$.

Waerden 5.18

Sei $S_q:=\sum x_i^q$ Zeige s_\varrho-s_{\varrho-1}\sigma_1+s_{\varrho-2}\sigma_2-...+(-1)^\varrho \varrho\sigma_\varrho = 0 \text{ wenn } \varrho \leq n$$$$s_\varrho-s_{\varrho-1}\sigma_1+s_{\varrho-2}\sigma_2-...+(-1)^n s_{\varrho-n}\sigma_{n} = 0 \text{ wenn } \varrho > n

\newcommand{\R}{\mathbb R}