Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft

--- literatur: “lit_hatcherAlgebraicTopology2002” typ: Mathematikartikel

Beschreibung

Betrachte zwei Räume $A,Y$. Lässt sich jede Homotopie auf eine größere Definitionsmenge $X$ fortsetzen, so sagen wir, dass die Menge die Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft besitzt. Ich habe den Eindruck, das $A$ verhält sich hier ein wenig wie eine Basis in anderen Bereichen der Mathematik. Es genügt, sich die Wirkung auf $A$ zu betrachten, um zu wissen, wie eine Abbildung bis auf Homotopieäquivalenz auf dem ganzen Raum wirkt.

Definition

$(X,A)$ besitzt die Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft, wenn jedes Paar von Abbildungen $X\times \{0\}$ und $A\times I\to Y$, die auf $A\times \{0\}$ übereinstimmen zu einer Abbildung $X\times I\to Y$ fortgesetzt werden können.

Charakterisierung als Retraktion

Ein Paar von Topologischer Raum besitzt die Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft genau dann, wenn $X\times \{0\}\cup A\times I$ eine Retraktion von $X\times I$ ist.

Eigenschaften

Zellkomplexe sind Homotopiefortsetzbar

Wenn $(X,A)$ ein Paar von Zellkomplex ist, dann ist $X\times \{0\}\cup A\times I$ eine Retraktionsdeformation von $X\times I$. Damit besitzt $(X,A)$ die Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft

Eine Folgerung dieser Eigenschaft ist, dass eine Homotopie von Skeletten sich zu Homotopien von Skeletten höherer Dimension verallgemeinern lassen.

Tip

Seien $(X,A),(Y,A)$ topologische Räume, die die Homotopiefortsetzungs-Eigenschaft erfüllen und $f:X\to Y$ ist eine Homotopy equivalence mit $f{|}_A=id$. Dann ist $f$ eine Relativhomotopieäquivalenz $\text{rel }A$

Voraussetyung für Retraktionsdeformation

Erfülle $(X,A)$ die Homotopiefortsetzungseigenschaft und die Inklusion $A\to X$ ist eine Homotopy equivalence. Dann ist $A$ eine Retraktionsdeformation von $X$.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002