Generated Ideal

Description

The generated ideal is the smallest ideal containing some numbers.

Definition

Sei $R$ ein Commutative Ring und $S\subseteq R$ eine Teilmenge. Man sagt, ein Two-sided Ideal $I$ wird von $S$ erzeugt und schreibt $I=(S)$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. $I\supseteq S$
2. Ist $J$ ein Ideal in $R$ mit $J\supseteq S$, dann folgt $J\supset I$

Properties

Explicit representation for finitely generated ideals

Sei $R$ ein Ring, und seien $a_1,...,a_n\in R$. Dann gilt $(a_1,...,a_n)=\left\{{\sum }_{i=1}^n{r}_i{a}_i:r_1,...,r_n\in R\right\}$

Useful Condition for equality

Seien $S,T\subseteq R$ Teilmengen eines Ringes. Gilt für die erzeugten Ideale $S\subseteq (T)$ und $T\subseteq (S)$, dann folgt $(S)=(T)$