Description
Eine Geodätische (manchmal Globale Geodätische oder Bi-unendliche Geodätische) ist die Verallgemeinerung von Geraden. Sie gibt eine Definition von Geraden auf metrischen Räumen, die nicht euklidisch sind.
Definition durch Einbettung
Gibt es eine Isometrische Einbettung , so wird eine Geodätische genannt.
Metrische Definition
Eine Teilmenge ist eine Geodäte, wenn zugleich gilt
- ist Teilmenge einer (affinen) Gerade
- ist konvex
- Für alle und für alle gibt es zwei verschiedene sodass Dieser Punkt unterscheidet Geraden von Strahlen und Sementen
ist genau dann eine Teilmenge einer affinen Geraden, wenn für beliebige drei Punkte der Menge gilt:
Definition (Punkte auf einer Geraden)
Drei Punkte liegen genau dann auf einer affinen Geraden, wenn (nach Vertauschung) Das sollte als Definition für eine Gerade als Objekt der Euklidischen Geometrie verwendet werden können.
Properties
Metrischer Begriff
Die Gerade lässt sich durch eine Metrik definieren. Damit bleibt die Gerade unter Isometrie erhalten. Sie ist ein Metrisches Objekt
\newcommand{\R}{\mathbb R}