Kovariante Tensoralgebra

Beschreibung

Wir beobachten, dass beim Tensorprodukt das Kommutativ und Assoziativgesetz gilt. Wir stellen nach ein wenig mehr rechnen fest, dass man mit dem Tensorprodukt eine Algebra definieren kann.

Damit wollen wir einen Raum aller möglichen Tensoren schaffen.

Dabei handelt es sich um eine abgestufte assoziative $K$-Algebra mit Einheit, konkret die kovariante Tensoralgebra von $U$.

Definition

Wir kombinieren die Tensorpotenz mit der direkten Summe, um einen graduierten Vektorraum zu erstellen: $T_{\ast }U:={⨁}_{m=0}^{\infty }{T}_{m}U$

Summe

Auf diesem Graduierten Vektorraum definieren wir eine Summe auf die offensichtliche Art: $T_{\ast }U\times T_{\ast }U\to T_{\ast }U,(u,v)\mapsto u\oplus v$

Produkt

Wir definieren das Produkt durch das Tensorprodukt: Die Abbildung $T_{m}U\times T_{n}U\stackrel{\otimes }{\to }{T}_{m+n}U$ induziert ein Produkt $T_{\ast }U\times T_{\ast }U\to T_{\ast }U$

Charakterisierung

Universelle Eigenschaft

Die Algebra $T_{\ast }U$ ist die größte assoziative $K$-Algebra mit Einheit, die durch $U$ generiert ist. Das heißt, dass jede lineare Abbildung $L:U\to A$ zu einer assoziativen $K$-Algebra mit Einheit die eindeutige Abbildung $T_{\ast }U\to A$ induziert.

Eigenschaften

Kovariant

Die Tensoralgebra wird als kovariant bezeichnet, da jede Lineare Abbildung $U\stackrel{L}{\to }V$ eine Lineare Abbildung auf den entsprechenden Algebran in gleicher Richtung induziert, d.h. $T_{\ast }U\stackrel{T_{\ast }L}{\to }{T}_{\ast }V$.

$T_{\ast }U$ besteht aus ${\otimes }^{m}U$. Man erhält $T_{\ast }L$ durch zusammensetzen der Abbildungen \begin{align}L^{\otimes m}: \otimes^m U &\to \otimes^mV\\u_i \otimes ..., \otimes u_n &\mapsto L(u_1) \otimes ... \otimes L(u_n)\end{align}