Körperhomomorphismus

Beschreibung

Eine Abbildung zwischen zwei Körper, die deren Struktur erhält.

Definition

Ein Körperhomomorphismus $\varphi :K\to L$ ist ein Ringhomomorphismus zwischen Körpern. Er hat die zusätzliche Forderung $\varphi (1_K)=1_l$

Eigenschaften

Injektivität

Ein Körper ist immer injektiv.¹

Beweis: Ein Körperhomomorphismus ist ein Ringhomomorphismus. Damit ist er injektiv, wenn sein Kern trivial ist.

Für ein $n\in K$ gilt: $\varphi (n)=\varphi (n\cdot 1_K)=n\cdot \varphi (1_K)=n\stackrel{!}{=}0⟺n=0$

Gemeinsamer Teilkörper

Sei $\varphi :L\to M$ ein Körperhomomorphismus, wobei wir voaraussetzen, dass $L$ und $M$ einen gemeinsamen Teilkörper besitzen. Dann ist auch die Teilmenge $K$ gegeben durch $K=\{a\in L\varphi (a)=a\}$ ein gemeinsamer Teilkörper von $L$ und $M$ und es gilt $\varphi \in Ho{m}_K(L,K)$

Nullstelle auf Nullstelle

Sei $\varphi :K\to \tilde{K}$ ein Körperisomorphismus. Seien außerdem $L|K$ und $\tilde{L}|\tilde{K}$ Körpererweiterungen, $\alpha \in L$ und $f\in K[x]$ ein Polynom mit $f(\alpha )=0$. Ist dann $\psi :K(\alpha )\to \tilde{L}$ ein Körperhomomorphismus mit $\psi {|}_K=\varphi$, dann ist $\tilde{\alpha }=\psi (\alpha )$ eine Nullstelle von $\tilde{f}=\varphi (f)$

Der Satz sagt, dass das Bild einer Nullstelle unter einem Homomorphismus auch eine Nullstelle ist, selbst wenn man den Körper erst erweitern müsste, um die Nullstelle zu erhalten.

Footnotes

1. Gerkmann - Proposition 2.7 ↩