Riemannsche Fläche

Beschreibung

Eine Riemannsche Fläche ist eine komplexe eindimensionale Mannigfaltigkeit.

Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender, Hausdorffscher Topologischer Raum mit eindimensionaler, komplexer Mannigfaltigkeitstruktur. D.h. für jeden Punkt $x\in X$ gibaum.md)aum.md)teq \mathbb{C}$,sodass$\phi$ein[[Hom\ddot{o}omorphismus]]ist.DieKarten\ddot{u}berg\ddot{a}ngesind[[HolomorpheAbbildung|holomorpheFunktionen]]Dannheißt$X$ eine Riemannsche Fläche.¹

Eigenschaften

Die Universelle Überlagerung

1.[](Homö[](Homöhäre]] ${\mathbb{P}}^1$ und die ist seine eigene Universelle Überlagerung 2. Die die universelle Überlagerung seiner sen komplexen Ebene $\mathbb{C}-\{a\}$ und aller Riemannflächen, die homöomorph zu einem Torus sind 3. Alle anderen Riemannschen Flächen haben als universelle Überlagerung die Poincaré Scheibe $D$ und sind damit hyperbolisch.

Beispiele

Identität

Ist \emptyset \neq U \subseteq \mathbb{[](Poinc[](Torus.md)eibe.md) die [[Karte]] id_U$einen[[HolomorpherAltas]]unddamiteine[[KomplexeStruktur]]auf$U$

Riemannsche Zahlensphäre

Die Riemannsche Zahlensphäre ist eine Riemannsche Fläche. Die 0Struktur.md)Nord und Südpol bilden die Karten

[unktionen Sei

• $f: U \to \mathbb{tische Funktion]]
• $f^{\prime }(a)\ne 0$ für alle $a\text{[}](Analytische$f$: $\Gamma (f):=\{(z,f(z)):z\in U\}$ eine Riemannsche Fläche

lit_katokFuchsianGroups1992

Footnotes

1. Zenk - Definition 24.3.1 ↩