Komplexe Zahlen

Definition

Konstruktion mit Faktorringen

Sei $R=R[x]$ ein Kommutativer Ring und $I=(x^2+1)$ ein Ideal $C=R/I$

Dann gilt die Gleichung $(x+I)(x+I)=(x^2+I)=((x^2+1)-1)+I=(-1)+I$

Diese Eigenschaft erinnert uns daran, wie $i^2=-1$. Tatsächlich ist dieser Faktorring isomorph zum Körper $\mathbb{C}$! Die Isomorphie verstehen wir besser, wenn wir uns Addition und Multiplikation ansehen:

Addition

Alle Elemente aus $R/I$ sind durch ein Polynom von Grad $0$ oder $1$ repräsentierbar. Würde man ein größeres Polynom nehmen, könnte man dieses durch $x^2+1$ dividieren und der Rest wäre kongruent zum urspünglichen.

Elemente aus $R/I$ haben also die Form: $(a+bx)+I=\overline{(a+bx)}$. Bei der Addition gilt $\overline{(a+bx)}+\overline{(c+dx)}=\overline{(a+c)+(b+d)x}$

Multiplikation

$\overline{(a+bx)}\cdot \overline{(c+dx)}=\overline{ac+(ad+bc)x+bd{x}^2}$ Im ersten Absatz galt: $\overline{x^2+1}=⟹\overline{x^2}=\overline{-1}$. Daraus folgt $\overline{(a+bx)}\cdot \overline{(c+dx)}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)x}$ Was genau wie die Multiplikation zweier komplexer Zahlen aussieht.