Kondition einer stetig differenzierbaren Funktion

Beschreibung

Die Kondition eines linearen Gleichungssystems kann genutzt werden, um die Kondition beim Auflösen von stetig differenzierbaren Funktionen zu berechnen

Definition

Sei $U\to {\mathbb{R}}^m$ eine stetig differenzierbare Funktion zwischen Vektorräumen. Für $x\ne 0,f(x)\ne 0$ ist $f$ gutkonditioniert mit relativer Kondition $k_{rel}=k_{rel}(f,x)=\Vert Df(x)\Vert \frac{\Vert x\Vert }{\Vert f(x)\Vert }$

$Df(x)$ ist die Jacobi-Matrix von $f$ in $x$.

Beispiele

Kondition der reellen Multiplikation

$\cdot :{\mathbb{R}}^2\to R,D(\cdot )(x,y)=(y,x)$ Aus oberer Gleichung folgt damit $k_{rel}=\Vert (y,x)\Vert \frac{\Vert (x,y)\Vert }{\Vert xy\Vert }=\frac{|x|}{|y|}+\frac{|y|}{|x|}$ Die relative Kondition wird also sehr groß, wenn $x$ und $y$ sehr verschiedene Größenordnungen haben. Und sonst numerisch stabil

Kondition der rellen Division

$(:):\mathbb{R}\times \mathbb{R}\backslash \{0\}\to \mathbb{R},D(:)(x,y)=\text{klam}\frac{1}{y},-\frac{x}{y^2}$ Wir erhalten $k_{rel}(x,y)=\frac{|x|}{|y|}+\frac{|y|}{|x|}$ Die Funktion ist aber nicht überall numerisch stabil, da $k_{rel}(f,(x,y))$ unendlich große wird, wenn man sich $y=0$ annähert.

Kondition der komplexen Multiplikation

Indem wir $\mathbb{C}={\mathbb{R}}^2$ setzen können wir die Kondition von komplexen Funktionen bestimmten. Bei der komplexen Mulitpliplikation $(\cdot ):{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ erhalten wir nach bilden der Jacobi-Matrix für komplexe Faktoren $x+iy$ und $u+iv$ die relative Kondition: $\frac{\Vert (x,y)\Vert }{\Vert (u,v)\Vert }+\frac{\Vert (u,v)\Vert }{\Vert (x,y)\Vert }$