Householdermatrix

Beschreibung

Die Householder-Matrix (auch Householder-Spiegelung oder Householder-Transformation) ist ein Hilfsmittel, um die QR-Zerlegung einer Matrix zu berechnen.

Householder-Matrizen sind Spiegelungen an Hyperebenen, senkrecht zu einem Vektor $u\in {\mathbb{R}}^n$.

Definition

Eine Matrix $H\in {\text{K}}^{n\times n}$ heißt Householdermatrix genau dann wenn es ein $u\in {\text{K}}^n$ gibt, sodass $\Vert u{\Vert }_2=1,H=Id-2u{u}^{\ast }$

Eigenschaften

Hermitisch

$H$ ist eine Hermitesche Matrix

Involuntarität

$H$ ist involuntarisch: $H^2=Id$.

Unitär

$H$ ist eine Unitäre Matrix.