Integration der Differentialform

Beschreibung

Genauso wie man eine Skalarwertige Funktion $V\to \mathbb{R}$ integrieren kann, um das Volumen unter dem Graphen auf der Menge $V\subseteq R^n$ zu bekommen, können wir auch über eine Differentialform integrieren.

Differentialformen sind Volumenfunktionen, sie geben das Volumen von Parallelogrammen an. Integration erfolgt demnach durch das Messen von ganz vielen kleinen Parallelogrammen und aufzählen ihrer Flächen.

Man kann damit auch entlang Kurven integrieren

Definition

Auf einer Glatten Mannigfaltigkeit $M$ definieren wir die Integration durch Verwendung einer Glatte Zerlegung der Eins: ${\int }_M\omega ={\sum }_i{\int }_{V_i}({\phi }_i^{-1}{)}^{\ast }({\rho }_i\omega )(e_1,...,e_n)d{x}^1...d{x}^n\in \mathbb{R}$

Der obere Term sieht aus, als wäre er nicht wohldefiniert. Überraschenderweise kann man aber zeigen, dass er es schon ist.

Q: Integration einer Differentialform A: ${\int }_M\omega ={\sum }_i{\int }_{V_i}({\phi }_i^{-1}{)}^{\ast }({\rho }_i\omega )(e_1,...,e_n)d{x}^1...d{x}^n$

Beispiele

Integration einer Kurve über einer 1-Differentialform

Sei $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ und $\omega \in {\Omega }^1(M)$. Dann ist ${\int }_{\gamma }\omega ={\int }_a^b{\omega }_{\gamma (t)}({\gamma }^{\prime }(t))dt$

$\omega$ kann hier als eine Metrik verstanden werden, die infinitesimale Strecken misst. Entlang der Kurve addieren wir nun die Messungen. Damit kann man beispielsweise messen, wie weit man einer Strömung folgt.

Betrachtet man nun den Hodge-Stern Operator der Differentialform: ${\int }_{\gamma }\ast \omega ={\int }_a^b\ast \omega ({\gamma }^{\prime }(t))dt$ Dieser Term zählt auf gegen wie viel seitliche Strömung man ankämpfen muss, wenn man der Kurve folgen würde.