(Affine) Gerade (Lineare Algebra)

Beschreibung

Eine (Affine) Gerade ist eine Gerade im Kontext der Geometrie.

Definition

Algebraische Definition

Sei $V$ ein eindimensionaler Untervektorraum von ${\mathbb{R}}^n$ und $p$ ein Vektor. Dann ist $p+V:=\{x+p:x\in V\}$ eine affine Gerade.

Metrische Definition

Eine Teilmenge $X\subset {\mathbb{R}}^2$ ist eine affine Gerade, wenn zugleich gilt

• $X$ ist Teilmenge einer (affinen) Gerade
• $X$ ist konvex
• Für alle $r>0$ und für alle $p\in X$ gibt es zwei verschiedene $q_1,q_2\in X$ sodass $d(p,q_1)=d(p,q_2)=r$ Dieser Punkt unterscheidet Geraden von Strahlen und Sementen

$X$ ist genau dann eine Teilmenge einer affinen Geraden, wenn für beliebige drei Punkte der Menge $X$ gilt:

Punkte auf einer Geraden

Drei Punkte $p,q,r$ liegen genau dann auf einer affinen Geraden, wenn (nach Vertauschung) $d(p,r)=p(p,q)+p(q,r)$ Das sollte als Definition für eine Gerade als Objekt der Euklidischen Geometrie verwendet werden können.

Metrischer Begriff

Die Gerade lässt sich durch eine Metrik definieren. Damit bleibt die Gerade unter Isometrie erhalten. Sie ist ein Metrisches Objekt

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