Verteilungsfunktion

Beschreibung

Die Verteilungsfunktion ist das, was man im Allgemeinen unter einer kumulativen Verteilungsfunktion verstehen. Wir definieren die Verteilungsfunktion kumulativ, da uns das beispielsweise die Definition des Dirac-Verteilung erlaubt.

Definition

Für $(\mathbb{R},B_{\mathbb{R}},P)$ Wahrscheinlichkeitsraum über der Borel Sigma-Algebra von $\mathbb{R}$ definiere: $D:\mathbb{R}\to [0,1],x\mapsto P((-\infty ,x])$ $D$ nennen wir Verteilungsfunktion.

Charakterisierung durch Maß

Sei $D:\mathbb{R}\to [0,1]$ ein Maß. Dann sind Äquivalent:

1. Es gibt ein Maß $\mu$ auf $(\mathbb{R},B_{\mathbb{R}})$ mit Verteilungsfunktion $D$
2. $D$ ist monoton steigend, rechtseitig stetig und ${\lim }_{x\to -\infty }=0$, ${\lim }_{x\to \infty }=1$

Eigenschaften

Eindeutigkeit von Verteilungsfunktionen

Seien $P,Q$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf auf $(\mathbb{R},B_{\mathbb{R}})$ mit Verteilungsfunktion $D_P,D_Q$. Dann gilt $D_P=D_Q⟹P=Q$

Beispiele

In der Vorlesung haben wir eine Menge verschiedener Dichten kennengelernt. Diese lassen sich grob in diskrete Verteilungen und kontinuierliche Verteilungen unterteilen.

Name	Verteilung	Modell	Erwartungwert	Varianz	Charakteristische Funktion
Poisson-Verteilung	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$	Gibt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von durchschnittlich $\lambda$ Ereignissen in einer Zeitspanne an.	$E(X)=\lambda$	$Var(X)=\lambda$	${\phi }_X(t)=e^{\lambda (e^{it}-1)}$
Bernoulli-Verteilung	$P(X=1)=p$	Simuliert ein Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$	$E(X)=p$	$Var(X)=p(1-p)$
Binomial-Verteilung	$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$	Wiederholtes ausführen eines Bernoulli-Experiments	$E(X)=np$	$Var(X)=np(1-p)$
Geometrische Verteilung	$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$	$E(X)=\frac{1}{p}$	$Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$

Verteilung	Dichte	Modell	Erwartungwert	Varianz	Charakteristische Funktion
Gleichverteilung	$\rho (x)=1_{[a,b]}\frac{1}{b-a}$	Gleichverteilung	$E(X)=\frac{b-a}{2}$	$Var(X)=\frac{1}{12}(b-a{)}^2$
Exponentialverteilung	$P(X\le a)={\int }_0^a\lambda e^{-\lambda x}$	Durchschnittliche Zeitspanne zwischen Poisson-Ereignissen	$E(X)=\frac{1}{\lambda }$	$Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$	${\phi }_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -it}$
Normalverteilung	$P(X\le a)={\int }_{-\infty }^a\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{sigma}{)}^2\right)dx$	Verteilung bei wiederholten Experimenten	$E(X)=\mu$	$Var(X)=\sigma$	${\phi }_Y(t)=e^{it\mu -\frac{t^2{\sigma }^2}{2}}$

Dirac-Maß

Siehe Dirac-Verteilung.

$\text{DeclareMathOperator}\text{Diff}Diff$