Norm

Beschreibung

Definition

Sei $V$ ei Vektorraum. Eine Norm auf $V$ ist eine Abbildung $||\cdot ||:V\to {\mathbb{R}}_0^{+}$, sodass für $x,y\in V,\lambda \in \mathbb{R}$ gilt

1. $||x||=0⟺x=0$
2. $||\lambda x||=|\lambda |||x||$
3. $||x+y||\le ||x||+||y||$

Wir nennen einen Vektorraum mit einer Norm Normierter Vektorraum

Beispiele

Die $l_p$-Normen

Für $p\in \mathbb{R},p\ge 1$ ist die $l_p$-Norm auf ${\mathbb{R}}^n$ definiert durch $||x|{|}_p=({\sum }_{i=0}^n|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$ Mit

• $p=1$ erhält man die Manhattan Norm
• $p=2$ erhält man die Euklidische Norm
• $p=\infty$ oder streng $||x|{|}_{\infty }=\underset{i=0,...,n}{\max }(|x_i|)$

\newcommand{\R}{\mathbb R}